Question

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)、C(8，0)、D(8，8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两

如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(4，0)、C(8，0)、D(8，8).抛物线y＝ax2＋bx过A、C两点.
(2)动点P从点A出发．沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD
向终点D运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G.当t为何值时，线段EG最长?
②连接EQ．在点P、Q运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ是等腰三角形?请说明理由。

那位高人会用“三线合一”的方法做第②小题，拜托，多谢！

Answer 1

显然A(4, 8)
过A: 8 = 16a + 4b, 4a + b = 2 (1)
过C: 0 = 64a + 8b, 8a + b = 0 (2)
由(1)(2): a = -1/2, b = 4
y = -x²/2 + 4x

AC的方程: (y - 0)/(x - 8) = (8 - 0)/(4 - 8)
y = 16 - 2x

t秒时, AP = t, P(4, 8-t), Q(8, t)
E的纵坐标=8 - t
代入AC的方程: 8-t = 16 - 2x, x = 4 + t/2
E(4 + t/2, 8 - t)
将E的横坐标代入抛物线的方程; G的纵坐标= -(4 + t/2)²/2 + 4(4 + t/2) = 8 - t²/8
G(4 + t/2, 8 - t²/8)
EG = G的纵坐标 - E的纵坐标 = 8 - t²/8 - (8 - t) = t - t²/8 = -(t - 4)²/8 + 2
t = 4时, 线段EG最长

使得△CEQ是等腰三角形:
(i)CE = EQ
CE² = EQ²
(t/2 - 4)² + (8 - t)² = (t/2 - 4)² + (8 - 2t)²
(8 - t)² = (8 - 2t)²
8 - t = 8 - 2t, t = 0 (C,Q重叠,舍去)
或8 - t = 2t - 8, t = 16/3

(ii) CQ = QE
CQ² = QE²
t² = (8 - 2t)² + (t/2 - 4)²
13t² -144t + 320 = 0
t = 8 (C,E重叠,舍去)
或t = 40/13

(iii) CE = CQ
CE² = CQ²
(t/2 - 4)² + (8 - t)² = t²
t² - 80t + 320 = 0
t = 40+16√5 (>8, 大概应当舍去)
t = 40-16√5

追问

大哥啊，这个两腰相等的方法偶会啊~~~~~偶们老师要偶用等腰三角形“三线合一”的方法做呢~~~~~帮个忙，再做一次吧~~~~~谢谢啊！！！！！！！！！
（还有啊，那个，偶题目打错了，速度均为每秒2个单位长度，不是1）

追答

不清楚“三线合一”什么意思

追问

就是等腰三角形中，底边上的高、中线以及顶角的角平分线三条线是重合在一起的。

追答

现在没有时间，最近一两天会做的。

追问

谢谢~~~~~~~呜呜~~~不知该如何感谢你，偶的恩淫~~~~~~~~~~

追答

AC的方程： y = 16 - 2x
速度均为每秒2个单位长度, t秒时， AP = t, P(4, 8-2t), Q(8, 2t)
E的纵坐标=8 - 2t
代入AC的方程: 8-2t = 16 - 2x, x = t + 4
E(4 + t, 8 - 2t)

(a) E为顶点
QC的中点为X(8, t)
QC与x轴垂直，则QC上的高与x轴平行。若QC上的高过X，则E与C纵坐标相等：
8 - 2t = t, t = 8/3
X(8, 8/3), Q(8. 16/3), E(20/3, 8/3)
现在只需验证X在角CEQ的平分线上，这可以通过验证X与CE和与QE的距离相等来做。
CE的方程与AC的方程相同：2x + y - 16 = 0
X与CE的距离d1 = |2*8 + 8/3 -16|/√(2²+1²) = 8√5/15
QE的方程: (y - 8/3)/(x - 20/3) = (16/3 - 8/3)/(8 - 20/3)
6x - 3y -32 = 0
X与QE的距离d2 = |6*8 - 3*8/3 - 32|/√(6²+3²) = 8√5/15
d1 = d2

(b) C为顶点
QE的中点为Y(6 + t/2, 4)
QE的斜率为(8-2t-2t)/(t+4-8) = 4(2 - t)/(t - 4)
QE上的高的斜率为(t-4)/[4(t-2)]
QE上的高的方程为：y = {(t-4)/[4(t-2)]}(x - 8)
Y点在此高上：4 = {(t-4)/[4(t-2)]}(6 + t/2 - 8)
t² - 40t + 80 = 0
t = 20 - 8√5 (另一值20 + 8√5 > 4, 舍去)
Y(16-4√5, 4), Q(8, 40 -16√5), E(24 - 8√5, 16√5 - 32)
现在只需验证Y在角ECQ的平分线上，这可以通过验证Y与CE和与CQ的距离相等来做。
CE的方程与AC的方程相同：2x + y - 16 = 0
Y与CQ的距离d1 = |2*(16-4√5) + 4 -16|/√(2²+1²) = 4(√5 - 2)
CQ与x轴垂直，X与CQ的距离d2 = C的横坐标 - Y的横坐标 = 8 - (16-4√5) = 4(√5 - 2)
d1 = d2

(c) Q为顶点
CE的中点为Z(6 + t/2, 4-t)
CE的斜率为(8-2t)/(t-4) = -2
CE上的高的斜率为1/2
QE上的高的方程为：y- 2t = (1/2)(x - 8)
Z点在此高上：4 - t - 2t = (1/2)(6 + t/2 - 8)
t = 20/13
Z(88/13, 32/13), Q(8, 40/13), E(72/13, 64/13)
现在只需验证Z在角CQE的平分线上，这可以通过验证Z与QE和与CQ的距离相等来做。
QE的方程：(y - 40/13)/(x - 8) = (64/13 - 40/13)/(72/13 - 8)
3x + 4y - 472/13 = 0
Z与QE的距离d1 = |3*88/13 + 4*32/13 - 472/13|/√(3²+4²) = 16/13
CQ与x轴垂直，Z与CQ的距离d2 = C的横坐标 - Z的横坐标 = 8 - 88/13 = 16/13
d1 = d2

Answer 2

（1）因为点B的横坐标为4，点D的纵坐标为8，AD∥x轴，AB∥y轴，所以点A的坐标为（4，8）．（1分）
将A（4，8）、C（8，0）两点坐标分别代入y=ax2+bx得
16a+4b=864a+8b=0
解得a=-
1
2
，b=4，
∴抛物线的解析式为：y=-
1
2
x2+4x；（3分）
（2）①在Rt△APE和Rt△ABC中，tan∠PAE=
PE
AP
=
BC
AB
，即
PE
AP
=
4
8
．
∴PE=
1
2
AP=
1
2
t．PB=8-t．
∴点E的坐标为（4+
1
2
t，8-t）．
∴点G的纵坐标为：-
1
2
（4+
1
2
t）2+4（4+
1
2
t）=-
1
8
t2+8．（5分）
∴EG=-
1
8
t2+8-（8-t）=-
1
8
t2+t．
∵-
1
8
＜0，∴当t=4时，线段EG最长为2．（7分）
②共有三个时刻．（8分）
（①）当EQ=QC时，
因为Q（8，t），E（4+
1
2
t，8-t），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（
1
2
t-4）2+（8-2t）2=t2．
整理得13t2-144t+320=0，
解得t=
40
13
或t=
104
13
=8（此时E、C重合，不能构成三角形，舍去）．
（②）当EC=CQ时，
因为E（4+
1
2
t，8-t），C（8，0），QC=t，
所以根据两点间距离公式，得：
（4+
1
2
t-8）2+（8-t）2=t2．
整理得t2-80t+320=0，t=40-16
5
，t=40+16
5
＞8（此时Q不在矩形的边上，舍去）．
（③）当EQ=EC时，
因为Q（8，t），E（4+
1
2
t，8-t），C（8，0），
所以根据两点间距离公式，得：（
1
2
t-4）2+（8-2t）2=（4+
1
2
t-8）2+（8-t）2，
解得t=0（此时Q、C重合，不能构成三角形，舍去）或t=
16
3
．
于是t1=
16
3
，t2=
40
13
，t3=40-16
5
．