Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得

如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α角（0°＜α＜90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，当旋转角α度数为 ，△ADF是等腰三角形．

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Answer 1

∠DFA为△ACF外角，所以∠DFA=30+α
△ADF为等腰三角形，有三种情况
（1）∠DFA=∠DAF：
∠DAF=∠DFA=30+α，所以∠DAC=∠DAF+∠FAC=60+α
C为旋转中心，CA=CD。∠ADC=∠DAC=60+α
△ACD中，2（60+α）+α=180，α=20
（2）∠DFA=∠FDA=30+α：
CA=CD，∠CAD=∠CDA=30+α
2（30+α）+α=180
α=40
（3）∠FDA=∠FAD
因为CD=CA，∠FDA=∠CAD
所以只有∠FAD=∠CAD，即F在射线AC上。显然不存在
因此α=20或α=40

Answer 2

1）解：连接AA’，

因为∠ ACB=90°，∠BAC=30°。把三角形ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A’B’C’，

则AC=A’C，∠B=60°，

因为△ADA’为等腰三角形，

所以当AD=AA’时，则∠ADA’=∠AA’D，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则30°+α=90°-α/2,则60°+2α=180°-α，

所以3α=120°，α=40°；

当AA’=A’D时，则∠A’DA=∠A’AD，

又因为∠ADA’=∠CDB=180°-60°-（90°-α）=30°+α，

∠AA’D=（180°-α）/2=90°-α/2,

则∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

则30°+α=60°-α/2,

3α/2=30°，则α=20°；

当A’D=AD时，则∠AA’D=∠A’AD，

因为∠A’AD=180°-∠ADA’-∠AA’D=180°-（30°+α）-(90°-α/2)=60°-α/2,

∠AA’D=90°-α/2，

则60°-α/2=90°-α/2，60°=90°，显然不成立。

所以，综上所述，可得；α=40°或20°。

2)在△ACA’中，AC=A'C=10√2，
夹角∠ACA’=45°，
过A作AP⊥A’C，高AP=10√2÷√2=10.
∴S△ACA’=1/2·10√2·10
=50√2.
肯定对

Answer 3

AC=DC,得AF<>DF,<cad=adc=（180-a)/2
如AF=AD,则<AFD=<ADF=30+a,<FAD=<CAD-30=60-a/2
<AFD+<ADF+ <FAD=180,得a=40
△ADF是等腰三角形
如DF=AD,则<AFD=<DAF=30+a
<AFD+<ADF+ <FAD=180,得a=20