Question

已知函数f(x)在[0,1]上可导,f(x)>0,f(0)=1,且在[0,1)满足 等式 f(x)-1/(x-1)∫(1,x)tf(t)dt=0，求函数f(x)

Answer 1

解：变形得：(x-1)f(x)-∫(1,x)tf(t)dt=0，两边对x求导得：
f(x)+(x-1)f'(x)-xf(x)=0，即：f'(x)-f(x）=0，该方程的解为：f(x）=Ce^x
由f(0)=1得C=1， 所以： f(x）=e^x

Answer 2

答案为：f(x)=e^x/[(x-1)^2]
化简得：（x-1)f(x)=∫(1,x)tf(t)dt，两边求导
xf'(x)+f(x)-f'(x)=-xf(x);
两边移动：（1+x)f(x)=(1-x)f'(x);
可得x-2ln|x-1|=ln|f(x)|+c
又因为 f(0)=1代入得C=0
得f(x)=e^x/[(x-1)^2]