Question

求y=e^(-x^2/2)的单调性，凹凸性，极值点，拐点

Answer 1

显然，函数 y=e^(-x²/2) 在R上连续、可导。
求导，得
y'=(-x)[e^(-x²/2)]……………………①
y"=-[e^(-x²/2)]+(x²)[e^(-x²/2)]
=(x²-1)[e^(-x²/2)]……………………②
由①，
令 y'≥0，则 x≤0；
令 y'≤0，则 x≥0，
可见，该函数的单调递增区间为 (-∞，0]，
单调递减区间为 [0，-∞)；
由②，
令 y"≥0，则 x≤-1或x≥1，
令 y"≤0，则 -1≤x≤1，
可见，该函数在 (-∞，-1] 即 [1，+∞) 是下凹的，
在 [-1，1] 是上凸的；
由单调性讨论可知，
函数在 x=0 处有极大值 y=1，
（该值也是其最大值），
不存在极小值点；
由函数凹凸性讨论可知，
函数的拐点有2个，
为 (±1，e^(-1/2))。
【其图像的变形是“正态分布”图像，你可以查一下，简单又直观】

Answer 2

1) 当 -∞<x<=0 时，y=e^(-x^2/2) 单调增；当 0<x<∞ 时，y=e^(-x^2/2) 单调减；
2) x=0 为极大值点；x=±∞，y=0，为最小值；
3) x=±1 为两个拐点；
4) |x|<=1 时，y(x) 显凸性；
|x| >1 时，y(x) 显凹性。