Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足Sn=2n+1－an①求出a1,a2.a3并推测an的表达式②证明所得结论

Answer 1

a1=2+1-a1
所以a1=3/2
a2+3/2=4+1-a2
所以a2=7/4
a3+7/4+3/2=6+1-a3
所以a3=15/8
推测an=2-1/2^n

验证，Sn=2n-（1/2+……+1/2^n）=2n-（1-1/2^n)=2n-1+1/2^n=2n-1+2-an=2n+1-an

Answer 2

1）a1=S1=3-a1 ，所以 a1=3/2 ，
因为 S2=a1+a2=5-a2 ，所以 a2=7/4 ，
因为 S3=a1+a2+a3=7-a3 ，所以 a3=15/8 。
2） 推测：an=2-(1/2)^n 。

证明：由 Sn=2n+1-an ，
S(n-1)=2n-1-a(n-1) ，
两式相减，得 an=Sn-S(n-1)=2-an+a(n-1) ，
因此 2an=2+a(n-1) ，
两边同除以2得 an=1/2*a(n-1)+1 ，
两边同时减 2 得 an-2=1/2*a(n-1)-1=1/2*[a(n-1)-2] ，
所以 ｛an-2｝是以 -1/2 为首项，1/2 为公比的等比数列，
故 an-2=(-1/2)*(1/2)^(n-1)=-(1/2)^n ，
所以 an=2-(1/2)^n 。

Answer 3

S1=2+1-a1
2a1=3
a1=3/2

S2=4+1-a2=a1+a2
a2=7/4

S3=6+1-a3=3/2+7/4+a3
a3=15/8

an=(2^(n+1)-1)/2^n=2-(1/2^n)=2-(1/2)^n

用反证法证明
假设an=2-（1/2）^n
则
Sn=2n-1/2-1/4-1/8-,,,,,,,-(1/2)^n
=2n-(1/2+1/4+1/8+,,,,,,,+(1/2)^n)
=2n-(1/2x(1-(1/2)^n)/(1-1/2))
=2n-(1-(1/2)^n)
=2n+(1/2)^n-1
=2n+1-an
成立
所以an=2-（1/2）^n

Answer 4

先代入求a1 a2 a3

证明的话 作差就行了

Answer 5

取n=n+1做差可知a（n+1）=2+an