Question

设函数f(x)=(ax-1)e^x+(1-a)x+1. 1、证明：当a=0，f(x)小于等于0；2、设当x>=0时，f(x)>=0，求a取值

Answer 1

1,a=0，则f(x)=-e^x+x+1、f'(x)=-e^x+1。
当x<0时，f'(x)>0，f(x)递增。当x>0时，f(x)<0，f(x)递减。
所以，当x=0时，f(x)取得极大值(也是最大值)f(0)=0。
所以f(x)<=0。
2,由上一问可知，当a=0时，命题不成立。
f'(x)=ae^x+(ax-1)e^x+1-a=(ax+a-1)e^x+1-a、f''(x)=(ax+2a-1)e^x。
1)当a<0时，若x>=0，则f''(x)=(ax+2a-1)e^x<0，f'(x)递减。f'(x)<=f'(0)=0。
所以，f(x)递减，即x>0时，f(x)<f(0)=0，不合题意。
2)当0<a<1/2时，x=(1-2a)/2>0是f'(x)的极小值(也是最小值)点。
f'(x)在区间[0,(1-2a)/a]上递减，即f'(x)<=f'(0)=0。
所以f(x)在区间[0,(1-2a)/a]上递减，即0<x<=(1-2a)/a时，f(x)<f(0)=0，不合题意。
3)当a>=1/2时，x=(1-2a)/2<=0是f'(x)的极小值(也是最小值)点。
f'(x)在区间[0,+无穷)上递增，即f'(x)>=f'(0)=0。
所以，f(x)在区间[0,+无穷)上递增，即f(x)>=f(0)=0，符合题意。
综上所述，a的取值范围是[1/2,+无穷)。

Answer 2

a=0,f(x)=-e^x+x+1
f'=1-e^x=0
x=0
f(0)=1
f(x)>=1
2、f'=(a+ax-1)e^x+1-a=(1-a)(1-e^x)+axe^x
f(0)=0
x>=0
f(x)>=0
1-a<=0
a>=1

Answer 3

1。即证x+1小于等于e∧x。

Answer 4

1、利用函数的单调性可以证明。
2、a=1.