Question

设曲线积分∫yf(x)dx+[2xf(x)-x^2]dy在右半平面(x>o)内与路径无关，其中f(x)可导，且f(1)=1,求f(x)

Answer 1

积分与路径无关，则：
∂P/∂y=∂Q/∂x
即：f(x)=2f(x)+2xf '(x)-2x
得：f '(x)+f(x)/(2x)=1
一阶线性微分方程，公式法：
f(x)=e^(-∫1/(2x) dx) (∫ e^(∫1/(2x) dx+C)
=e^(-1/2lnx) (∫ e^(1/2lnx) dx+C)
=(1/√x)(∫ √x dx+C)
=(1/√x)((2/3)x^(3/2)+C)
=(2/3)x+C/√x
将f(1)=1代入得：1=2/3+C，则C=1/3
f(x)=(2/3)x+1/(3√x)

Answer 2

f(x)=(2/3)x+1/(3√x)