Question

在梯形ABCD中,AD//BC.BD⊥CD,且BD=CD,过点C作CE⊥AB,E为垂足,CE交BD于F,联结AF

求证：∠AFD=∠CFD

Answer 1

证：过D点作BC垂线交BC于G，交CE于H
由已知有：AD//BC.BD⊥CD,且CD=BD,过点C作CE⊥AB,E为垂足；
∵AD//BC→∠ADB=∠DBC （1）
∵BD⊥CD,且BD=CD→△BCD为等腰直角三角形，BG⊥BC→∠BDG=∠DBC=∠CDG （2）
由（1）（2）得 ∠CDG=∠ ADB =∠ BDG
∵CE⊥AB，BD⊥CD ∴在Rt△BEF与Rt△CDF中，∠BFE与∠CFD为对顶角相等
∴∠DCF=∠ABD ，
∵在△ABD与△CDH中
∠CDG=∠ ADB ，CD=BD ，∠DCF=∠ABD
∴△ABD≌△CDH
∴DA=DH
∵在△ADF与△HDF中
DA=DH ，=∠ ADB =∠ BDG ，DF为公共边
∴△ADF≌△HDF
∴∠AFD=∠CFD