Question

已知关于x的二次函数y=x2-(2m-1)x+m2+3m+4

已知关于x的二次函数y=x2-（2m-1）x+m2+3m+4．
（1）探究m满足什么条件时，二次函数y的图象与x轴的交点的个数；
（2）设二次函数y的图象与x轴的交点为A（x1，0），B（x2，0），且x12+x22=5，与y轴的交点为C，它的顶点为M，求直线CM的解析式．

Answer 1

解：
1、
对于方程x²-(2m-1)x+m²+3m+4=0
判别式△=[-(2m-1)]²-4(m²+3m+4)=-16m-15
令△>0，-16m-15>0 m<-15/16，此时函数与x轴有两个交点；
令△=0，-16m-15=0 m=-15/16，此时函数与x轴有一个交点；
令△<0，-16m-15<0 m>-15/16，此时函数与x轴没有交点，交点个数为0。
2.
对于方程x²-(2m-1)x+m²+3m+4=0，两根为x1，x2，由韦达定理得
x1+x2=2m-1
x1x2=m²+3m+4
x1²+x2²=(x1+x2)²-2x1x2=(2m-1)²-2(m²+3m+4)=2m²-10m-7=5
m²-5m-6=0
(m-6)(m+1)=0
m=6(>-15/16，舍去)或m=-1
m=-1代入函数方程，整理，得y=x²+3x+2
令x=0，得y=2，C点坐标(0，2)
y=x²+3x+2=(x +3/2)² -1/4，顶点坐标(-3/2，-1/4)
直线CM方程为y-2=[(2+1/4)/(0+3/2)](x-0)
整理，得
y=3x/2 +2