Question

设a,b,c 属于正数，且a+b+c=1，求证：(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)大于等于8

Answer 1

(1\a-1)(1\b-1)(1\c-1)=（1-a)(1-b)(1-c)/abc=（b+c)(c+a)(a+b)/abc
于是（b+c)(c+a)(a+b)/abc>=8
<=> (b+c)(c+a)(a+b)>=8abc
<=> ∑a^2(b+c)+2abc>=8abc
<=> ∑a^2(b+c)-6abc>=0
<=> ∑[a(b^2+c^2)-2abc]>=0
<=> ∑a(b-c)^2>=0
所以原不等式成立！
（如果利用均值不等式也可以，就是（b+c)(c+a)(a+b)/abc，利用b+c>=2√bc)

Answer 2

设a,b,c 属于正数，且a+b+c=1，求证：[(1/a)-1][(1/b)-1][(1/c)-1]≧8
证明：[(1/a)-1][(1/b)-1][(1/c)-1]=[(1-a)(1-b)(1-c)]/abc=(1/abc)[1-(a+b+c)+(ab+ac+bc)-abc]
=(1/abc)[(ab+ac+bc)-abc]=[(ab+ac+bc)/abc]-1=[(ab+ac+bc)(a+b+c)/abc]-1
=[(a²b+a²c+ab²+ac²+b²c+bc²+3abc)/abc]-1
=[(a/c)+(a/b)+(b/c)+(c/b)+(b/a)(c/a)]+2≧6[(a/c)(a/b)(b/c)(c/b)(b/a)(c/a)]^(1/6)+2=6+2=8
当且仅仅当a/c=a/b=b/c，即a=b=c=1/3时等号成立。故证。