Question

在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y

在平面直角坐标系xOy中，边长为4的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限．
问：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点p是否在直线y=x上，如果在，请给出证明，如果不在，请说明理由。

Answer 1

解：(1)易得A点为(4,8)
由于抛物线过(4,8)(8,0)，分别代入抛物线得a=-1/2,b=4
所以抛物线为y=-1/2x²+4x
（2）由题知AE函数为y=-2x+16，P点坐标为（4,8-t)
而AE纵坐标与P点相同，所以有8-t=-2x+16,得x=(t+8)/2
即E点为((t+8)/2,8-t)
而E与G共横坐标，所以有y=-1/2((t+8)/2)²+4(t+8)/2=-1/8t²+8
即G为((t+8)/2,-1/8t²+8)
所以EG=yG-yE=-1/8t²+8-(8-t)=-1/8t²+t
所以有最大值当ymax=2时,t=4
(3)E点为((t+8)/2,8-t),Q点坐标为(8,t),C点坐标为(8,0)
用向量法得：向量CQ=(0,t),向量EC=(-t/2+4,t-8),向量EQ=(-t/2+4,2t-8)
所以|CQ|=t,
当|EC|=|EQ|时，即(-t/2+4)²+(t-8)²=(-t/2+4)²+(2t-8)²
即t-8=2t-8,所以t无解，即|EC|≠|EQ|
当|CQ|=|EC|时，即(-t/2+4)²+(t-8)²=t²
解得t=40±16根号5，因为0<t<8所以t=40-16根号5
当|CQ|=|EQ|时，即t²=(-t/2+4)²+(2t-8)²
(13t-40)(t-8)=0因为t≠8所以13t-40=0所以t=40/13

Answer 2

作DE⊥x轴于E,PF ⊥x轴于F,

设A点坐标为（m,0）,B点坐标为（0,n）

∵∠BAO+∠DAE=∠BAO+∠ABO=90°∴∠DAE=∠ABO

在△AOB和△DEA中：

∴△AOB≌和△DEA（AAS）

∴AE=0B=n,DE=OA=m,

则D点坐标为（m+n,m）

∵点P为BD的中点，且B点坐标为（0,n）

∴P点坐标为（ o, n/2）∴PF=OF ∴∠POF=45°,

∴OP平分∠AOB。即无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在∠AOB的平分线上；

追问

复制粘贴吧 我问的不是这个问题

追答

对啊。给你答案不错了，你自己么不会

追问

这不是答案 题都不对

追答

哦，那你自己做吧

Answer 3

∠BOA+∠BPA＝90º+90º＝180º, ∴BOAP共园，∠AOP＝∠ABP＝45º, 即P在直线y=x上.

Answer 4

设∠BOA=x
则四点的坐标为
A(4cosx,0)
B(0,4sinx)
C(4cosx+4sinx,4cosx)
D(4sinx,4sinx+4cosx)
所以P点坐标为（2sinx+2cosx,2sinx+2cosx）
即P在直线y=x上