Question

如图在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12,动点P,Q分别在

已知在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF‖BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x。
(1)求DF/CF的值
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出四边形EFGQ的面积S
(3)当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值。
谁能跟更简练

Answer 1

解：（1）由△PDE∽△QBE，△DEF∽△DBC，知DF/CF=1/2。

（2）不变。由△PDF∽△GCF，易知CG=2x，又QG=BC=13，

∴△PQG的面积=1/2×13×12=78。又　△PEF　：△PQG=1：9，

∴四边形EFGQ的面积S=8/9×78=208/3。

（3）分两种情况。作PH⊥BG于点H，

①当PQ=QG时，∵QG=13，∴QH=13/2，∴BH=BQ+QH=AP，即 2x+13/2=11-x，解得x=3/2.

②当Qp=QG=13时，点P在点E的右边时，BH=BQ+QH=AP，即  2x+5=11-x，解得x=2;

当点P在点E的左边时，BH=BQ-QH=AP，即  2x-5=11-x，解得x=16/3;

综上所述，x=16/3，x=2，x=3/2。

Answer 2

已知在直角梯形ABCD中,AD‖BC,AB⊥BC,AD=11,BC=13,AB=12.动点P、Q分别在边AD和BC上，且BQ=2DP.线段PQ与BD相交于点E，过点E作EF‖BC，交CD于点F，射线PF交BC的延长线于点G，设DP=x。
(1)求DF/CF的值
（2）当点P运动时，试探究四边形EFGQ的面积是否会发生变化？如果发生变化，请用x的代数式表示四边形EFGQ的面积S；如果不发生变化，请求出四边形EFGQ的面积S
(3)当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时，求x的值。
(1)解析：∵在直角梯形ABCD中,AD//BC,AB⊥BC, BQ=2DP
∴⊿PED∽⊿QEB==>PE/EQ=PD/QB=1/2
∵PD//BC//EF
∴DF/FC=PE/EQ=1/2
(2)解析：∵BQ=2DP
∴当点P沿AD运动时，Q点沿BC与P作反向运动
设DP=x，BQ=2x
∵AB=12,AD=11,BC=13
∴tan∠DBC= tan∠ADB=AB/AD=12/11
BD=√(AB^2+AD^2)=√265==>EB=2/3BD=2√265/3
过E作EH⊥BC交BC于H
EH=BEsin∠DBC=2√265/3*12/(√265)=8
⊿EDF∽⊿BDC==>DE/DB=EF/BC=DF/DC=1/3==>EF=1/3BC=13/3
⊿PDF∽⊿GCF==>PD/GC=DF/FC=PF/FG=1/2==>GC=2PD=2x
∴BQ=GC==>QG=BC-BQ+GC=BC
∴S(EFGQ)=(EF+QG)/2*EH=2/3*13*8=208/3
∴此时四边形EFGQ的面积不会发生变化
(3)解析：当△PQG是以线段PQ为腰的等腰三角形时
过P作PM⊥QG交EF于N，交QG于M
此时M,N分别为QG,EF中点
延长FE交AB于k
⊿BKE∽⊿BAD==>EK=2/3AD=22/3
∴PD=AD-(EK+EN)=11-22/3-13/6=3/2
即x=3/2

Answer 3

（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，
∴DE/BE=DP/BQ
∵EF∥BC，
∴DE/BE =DF/CF
又∵BQ=2DP，
∴DF/CF=1/2．

（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，
∴EF/BC=DE/DB=1/3．
而BC=13，∴EF=13/3．
又∵PD∥CG，∴PD/CG=DF/CF=1/2．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴EM/DN=BE/BD =EM/AB =2 /3 ，

而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=1/2×(13/3+13)×8=208/3 ．

（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=13/2．
∴2x+13/2
=11-x．

解得x=3/2．
（ii）当PQ=GQ时，PQ=(11-3x)2+122 =13．
解得x=2或x=16/3
．综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为

3/2 2或16/3．

Answer 4

解：（1）在梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∴
DE
BE
=
DP
BQ
．
∵EF∥BC，∴
DE
BE
=
DF
CF
．
又∵BQ=2DP，∴
DF
CF
=
1
2
．
（2）不发生变化．
作EM⊥BC，垂足为点M，
在△BCD中，
∵EF∥BC，∴
EF
BC
=
DE
DB
=
1
3
．
而BC=13，∴EF=
13
3
．
又∵PD∥CG，∴
PD
CG
=
DF
CF
=
1
2
．
∴CG=2PD．
∴CG=BQ，即QG=BC=13．
作DN⊥BC，垂足为点N．
∴
EM
DN
=
BE
BD
=
EM
AB
=
2
3
，
而AB=12，
∴可求得EM=8．
∴S=
1
2
×(
13
3
+13)×8=
208
3
．
（3）作PH⊥BC，垂足为点H．
（i）当PQ=PG时，QH=GH=
13
2
．
∴2x+
13
2
=11-x．
解得x=
3
2
．
（ii）当PQ=GQ时，PQ=
(11-3x)2+122
=13．
解得x=2或x=
16
3
．
综上所述，当△PQG是以PQ为腰的等腰三角形时，x的值为
3
2
、2或
16
3 ．