Question

若三角形ABC三边长为a、b、c，且S=c²-(a-b)²且a+b=2,

若三角形ABC三边长为a、b、c，面积为S，且S=c²-(a-b)²，且a+b=2,求面积S的最大值。

Answer 1

根据余弦定理：c^2=a^2+b^2-2abcosC，代入S=c²-(a-b)²得：S=2ab(1-cosC)=4ab(sinC/2)^2
因为S=1/2absinC，所以4ab(sinC/2)^2=1/2absinC，化简得：tanC/2=1/4，所以：
S=4ab(sinC/2)^2=4ab(tanC/2)^2/(1+(tanC/2)^2)=4ab(1/4)^2/(1+(1/4)^2)=4ab/17
因为a+b=2，所以b=2-a代入上式得:S=4a(2-a)/17=-4(a-1)^2/17+4/17
所以当a=1时，S取最大值4/17。

Answer 2

当a=1时，S取最大值4/17。