Question

斜率为2的直线L经过抛物线y2=4x的焦点,且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.（三种方法解答）

Answer 1

y=4x的焦点为（1，0），
∴直线方程为y=x-1，代入抛物线方程有：
(x-1)=4x 即x-6x 1=0，
设两交点的横坐标分别为x1和x2，则：
x1 x2=6，x1x2=1
∴（x1-x2）=（x1 x2）-4x1x2=32
∴|x1-x2|=4√2
∴|AB|=|x1-x2|/cos45°=8

这是完全平方式展开的啊，初中知识
（x1 x2）-4x1x2=x1 2x1x2 x2-4x1x2=x1-2x1x2 x2=（x1-x2）
将x1 x2=6，x1x2=1代入，就有
（x1-x2）=（x1 x2）-4x1x2=6-4×1=32
当然，用抛物线的定义也可以，
【抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离】
抛物线的准线为x=-1，
则|AP|=x1-（-1）=x1+ 1，|BP|=x2-（-1）=x2 +1 则
|AB|=|AP| |BP|=x1 x2 2=6 +2=8