Question

级数题目

只要证明收敛
答案提示说用到不等式：1/2+1/3+.....+1/n<lnn<1+1/2+1/3+.......+1/n

Answer 1

利用不等式1/(n+1)<ln(1+1/n)<1/n，得不等式
1/2+1/3+...+1/n<lnn<1+1/2+...+1/(n－1)<1+...+1/n。
当a<1/e时，有an=a^(1+...+1/n)=e^(lna*(1+...+1/n))<e^【(1+lnn)*lna】＝a*e^(lnn^(lna))=a*n^(lna)
=a/n^(－lna)，注意到－lna>1，因此级数收敛。
另外一边类似。
不过我觉得不容易想到。我建议用Raabe判别法。
an/a(n+1)=a^(－1/(n+1))=e^(－lna/(n+1)) Taylor展式
＝1－lna/(n+1)+小o(1/n^2)，
Raabe判别法知道－lna>1时收敛，－lna<1时发散。
当－lna=1时，Gauss判别法知道发散。

Answer 2

楼主可知道：关于级数∑(1/n^k)，当0<k≤1时，级数发散；当k>1时，级数收敛。
而1/2+1/3+.....+1/n<lnn<1+1/2+1/3+.......+1/n可用归纳法证明，
再由两边夹准则，可证原级数收敛。