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D: a ≤x≤b, a≤y≤b
2 f(x) f(y) ≤ f²(x) + f²(y)
∫∫D f(x) f(y) dxdy
≤ (1/2) ∫∫D [ f²(x) + f²(y)] dxdy
= (1/2) ∫[a,b] f²(x) dx ∫[a,b] dy + (1/2) ∫[a,b] f²(y) dy ∫[a,b] dx
= (b-a)/2 * ∫[a,b] f²(x) dx + (b-a)/2 * ∫[a,b] f²(y) dy
= (b-a) ∫[a,b] f²(x) dx
于是：
∫∫D f(x) f(y) dxdy = [ ∫[a,b] f(x) dx ] ² ≤ (b-a) ∫[a,b] f²(x) dx
2 f(x) f(y) ≤ f²(x) + f²(y)
∫∫D f(x) f(y) dxdy
≤ (1/2) ∫∫D [ f²(x) + f²(y)] dxdy
= (1/2) ∫[a,b] f²(x) dx ∫[a,b] dy + (1/2) ∫[a,b] f²(y) dy ∫[a,b] dx
= (b-a)/2 * ∫[a,b] f²(x) dx + (b-a)/2 * ∫[a,b] f²(y) dy
= (b-a) ∫[a,b] f²(x) dx
于是：
∫∫D f(x) f(y) dxdy = [ ∫[a,b] f(x) dx ] ² ≤ (b-a) ∫[a,b] f²(x) dx
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