Question

特征值的准确定义

Answer 1

对于方阵A,存在一个非零向量X和实数λ，使得AX=λX成立，则称λ为矩阵A的特征值，X称为A相对于λ的特征向量。

延伸：
由AX-λX=0得(A-λE)X=0.
该方程有非零解的等价条件为|A-λE|=0
因此要求A的特征值，即求满足这个行列式的λ值即可；而特征向量就是该线性方程组的非零解

Answer 2

设A是向量空间的一个线性变换，如果空间中某一非零向量通过A变换后所 奇异矩阵特征值
得到的向量和X 仅差一个常数因子，即AX=kX ，则称k为A的特征值，X称为A的属于特征值k的特征向量或特征矢量(eigenvector)。如在求解薛定谔波动方程时，在波函数满足单值、有限、连续性和归一化条件下，势场中运动粒子的总能量(正)所必须取的特定值，这些值就是正的本征值。 　　设M是n阶方阵， I是单位矩阵， 如果存在一个数λ使得 M-λI 是奇异矩阵（即不可逆矩阵， 亦即行列式为零）， 那么λ称为M的特征值。