Question

已知函数f(x)=x^3+3ax-1

已知函数f(x)=x^3+3ax-1的导函数为f'(x),g(x)=f'(x)-ax-5
1若对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0，求实数x的取值范围
2设a=-m^2,当实数m在什么范围内变化，函数f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点

Answer 1

f'(x）=3x^2+3a
g(x)=3x^2-ax-3+3a
对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0
即-1≤a≤1时，3x^2-ax-3+3a<0
（3-x)a+3x^2-3<0
1,x=3时，不成立
2，x＜3，（3-x)a+3x^2-3为增函数，a=1时取最大值，最大值为3-x+3x^2-3
3-x+3x^2-3＜0
解得0＜x＜1/3
3，x＞3，（3-x)a+3x^2-3为减函数，a=-1时取最大值，最大值为-3+x+3x^2-3
-3+x+3x^2-3＜0
解得（-1-根号73）/6＜x＜（-1+根号73）/6
又x＞3
故不存在
综上所述
0＜x＜1/3

g(x)=3x^2-ax-3+3a
g(x)‘=6x-a
F(x)=xg'(x)+lnx=6x^2-ax+lnx
对于x=2，xg'(x)+lnx>0必须成立
a＜12+In2/2
y=6x^2-ax抛物线的对称轴为a/12
a/12＜1+In2/24
1+In2/24＜2
所以x≥2时，y=6x^2-ax是增函数，Inx也是增函数
所以F（x)是增函数，x=2时取最小值
所以a＜12+In2/2

追问

题目不一样 我这个是-5

Answer 2

f'(x）=3x^2+3a
g(x)=3x^2-ax-3+3a
对满足-1≤a≤1的一切的值，都有g(x)<0
即-1≤a≤1时，3x^2-ax-3+3a<0
（3-x)a+3x^2-3<0
1,x=3时，不成立
2，x＜3，（3-x)a+3x^2-3为增函数，a=1时取最大值，最大值为3-x+3x^2-3
3-x+3x^2-3＜0
解得0＜x＜1/3
3，x＞3，（3-x)a+3x^2-3为减函数，a=-1时取最大值，最大值为-3+x+3x^2-3
-3+x+3x^2-3＜0
解得（-1-根号73）/6＜x＜（-1+根号73）/6
又x＞3
故不存在
综上所述
0＜x＜1/3

Answer 3

解析：（1）f′（x）=3x2-3a=3（x2-a），
当a＜0时，对x∈R，有f′（x）＞0，
当a＜0时，f（x）的单调增区间为（-∞，+∞）
当a＞0时，由f′（x）＞0解得x＜-
a或x＞
a；
由f′（x）＜0解得-
a＜x＜
a，
当a＞0时，f（x）的单调增区间为(-∞，-
a)，(
a，+∞)；
f（x）的单调减区间为(-
a，
a)．
（2）因为f（x）在x=-1处取得极大值，
所以f′（-1）=3×（-1）2-3a=0，∴a=1．
所以f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3x2-3，
由f′（x）=0解得x1=-1，x2=1．
由（1）中f（x）的单调性可知，f（x）在x=-1处取得极大值f（-1）=1，
在x=1处取得极小值f（1）=-3．
因为直线y=m与函数y=f（x）的图象有三个不同的交点，又f（-3）=-19＜-3，f（3）=17＞1，
结合f（x）的单调性可知，m的取值范围是（-3，1）．