Question

用数学归纳法证明：1 1/2 1/3 1/4 … 1/(2^n-1)<=n

Answer 1

当n=2时
(左边) = 1/2^2 = 1/4
(右边) = (2-1)/2 = 1/2
(左边) < (右边)

假设 n=k 的时候该式是正确的，
A: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 < (k-1)/k
在式子的两边都加上 1/(k+1)^2 ，有上面的假定，所以下面的式子在假定下也是正确的。
B: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < (k-1)/k + 1/(k+1)^2

k/(k+1) - {(k-1)/k + 1/(k+1)^2}
=1/{k(k+1)^2}
>0
也就是说
C: {(k-1)/k + 1/(k+1)^2} < k/(k+1)

把C式带入到B式的右边可得出D式，
D: 1/2^2 + 1/3^2 + ... + 1/k^2 + 1/(k+1)^2 < k/(k+1)

假设n=k是对的时候，n=k+1也是对的。所以n=>2的时候，改式成立。

Answer 2

证明：当 n=1时，
左边=1=右边；
假设n=k时，不等式成立，
那么n=k+1时，
左=1+1/2+...+1/(2k-1)+1/(2k)+1/(2k+1)<=k+(1/2k)+1/(2k+1) ，
接下来只要证明：1/(2k)+1/(2k+1)<=1即可，
最后得到4k^2>=1,而k>=1，显然成立。
所以n=k+1时式左<=k+1，
综上所述，不等式得证。

Answer 3

你题目是不是写错了，是不是把+号都扔了。。。