Question

急( ⊙ o ⊙ )啊！！！！！！！诚请数学高人帮忙再详细解说一道几何数学题的解答过程，悬赏分再继续加

谢谢！！！！！！
如题：已知正四面体（所有棱长都相等的三棱锥）的俯视图如图所示，其中四边形ABCD是边长为2cm的正方形，则这个正四面体的主视图的面积为？
参考答案：2√2cm²

该题的参考解答过程如下：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．这个正四面体的位置是AC放在桌面上，
BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，
则正视图 BD=2√2，DO=BO=√6，
∴S△BOD=1/2 * 2√2 * √（6-2）
故答案为：2√2cm²

PS：（该题的图片已上存，分为两部分，一部分为原来题目中所给出的图，另一部分是参考答案给出的图）由于该题的参考解答过程太精辟简短了，我看得不太懂（关于三视图的投影的相关知识知识，我没有学好），跪求数学高人帮忙再详细解说一遍关于该题的上述解题过程（尤其是该解题过程中的相关数据，不知怎么得来的）
【即：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．这个正四面体的位置是AC放在桌面上，
BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，
则正视图 BD=2√2，DO=BO=√6，
∴S△BOD=1/2 * 2√2 * √（6-2），
故答案为：2】，希望这个解题过程能够再详尽一点，谢谢，根据回答的具体程度再额外追加悬赏分5~50，辛苦了！！！！！！
O(∩_∩)O谢谢大家的热心解答，【即：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．这个正四面体的位置是AC放在桌面上，
BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，
则正视图 BD=2√2，DO=BO=√6，
∴S△BOD=1/2 * 2√2 * √（6-2），
故答案为：2】这里，“故答案为：2”应是“故答案为：2√2 ”，抱歉，这里打漏了

Answer 1

首先跟你解释，位置问题，因为是正四面体又是俯视图，故目前这个体的位置是AC棱全部接触桌面整条棱是该体接触桌面的唯一部分DB棱是顶端，平行于桌面，所以你绕这个正四面体走一周，正面和背面看到的是底边在上顶点在下倒立于桌面向内倾斜的三角面，而左侧和右侧则是顶点在上底边在下向外倾斜的三角面。
其次ABCD是正方形它是四个棱的投影，而这个正方形的对角线正是DB长度，所以DB就可求得答案值。也是各个棱的长度。
你若看懂了上面的体位描写，那么就可以理解现在要求的就是你从正面看到的顶点在下底边在上向内倾斜三角面△DAB的投影三角面△DOB的面积。

在△DAC或△BAC中由B点或D点向底边AC做垂线，垂足即为投影O点，因为都是等边三角形，具体算法你应该都会，我就不详细写了，很简单的，答案正确无误，只要你搞明白这个体位答案自然看的明了。

补充：所谓主视图是观察者从垂直于桌面的正面位置去看物体
俯视图是观察者面部平行于桌面从物体上部看物体
侧视图是观察者同样面部垂直于桌面从物体左侧看物体。

追问

O(∩_∩)O谢谢啊！！！您的解说的很详细，请问“【即：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．这个正四面体的位置是AC放在桌面上，
BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，
则正视图 BD=2√2，DO=BO=√6，
∴S△BOD=1/2 * 2√2 * √（6-2），
故答案为：2√2】”关于该解法，我只能算得BD=2√2，但是不知道DO=BO=√6怎么算得的，请问您能具体说说吗，还有，您认为354909 的解法怎样？

追答

这个我觉得你不应该不会算啊，就是最简单的勾股定理运用。因为BD=AC=2√2，故AO=√2（等边三角形，垂足即为底边中点），所以在直角三角形△AOB中AO=√2、AB=2√2已知，解得BO=DO=√6，我觉得你要是看懂了我说的正视图概念应该自己能明白这个数是如何算出来的。不知道这个算法解说是否明白？354909 的解法前半部是正向推解，后半部分是逆向推解，虽然整体拼接无问题，但是解题不能用这种思路，还是先搞明白几何体的体位和投影关系才是根本之道。希望对你的学习有帮助，有问题多交流哈

Answer 2

先看第一个图，设AC与BD交于E
∵ABCD为正方形
∴AC垂直BD，BE=CE
∵边长为2，即BC=2
∴BE=√2,BD=2√2
∴棱长为2√2（由于俯视原因，BD为真实棱长）
（具体我也不知道这里的主视图指的是什么，不过根据答案可理解为如下）
D作垂线，交AC于O,连接BO
则△BOD为所求三角形
∵△ADC,△ABC均为等边△，且边长为2√2
∴BO=DO=√6
∴ △BOD为等腰三角形
O作垂线OF交BD于F
∴OF=√（6-2）=2
∴S△BOD=1/2 *BD *OF
= 1/2 * 2√2 * 2
=2√2

追问

O(∩_∩)O谢谢！！！您所说的“△ADC,△ABC均为等边△，且边长为2√2”，应该是
“△ADC,△ABC均为等边△，且边长均为2（在△ADC中，AD=CD=2；在△ABC中，AB=BC=2）“吧，由第一幅图（俯视图四边形ABCD是边长为2cm）可知，不过那个正方形，我可能画得不太标准，把您误导了，抱歉！！请问阁下对我的看法是？？

追答

嗯，我感觉您说的AD=CD=2是相对于正方形ABCD而言的，确实已知正方形ABCD边长是2。但是对于△ADC,△ABC来说，如果说您把它看成了是等边三角形的话，就说明您已经脱离了俯视图（因为俯视图它只能是等腰三角形，AD=CD=2，但是不等于AC,AC是正方形对角线，肯定是比边长的），随后要看的就是它的实际边长，由于俯视的原因AD,CD都按照一定的比例变段了，这么说吧∠ADB,∠CDB实际上是60°吧（等边△），而俯视之后，它俩和90°，各自45°，说明俯视之后都变小了。由此可以解释AD,CD的变化，所以说AD,CD的实际长度（就是在等边△中的长度）并非还是2，脱离正方形以后它就是2√2了（因为做投影之后你会知道AC,BD长度是不会改变的，所以它俩就是实际长度），不知道这样解释你能明白不

追问

O(∩_∩)O谢谢您耐心的解答，亲，您的解答太棒了，我有点懂了，不过对于三视图，还有投影之类的，我感觉好模糊，好像很复杂，我当初想的太简单了...呵呵，我昨晚打字太快，太粗心了，谢谢提醒！！！△ADC,△ABC应该是等腰三角形才对，AD=CD=2，AC=BD=2√2，做投影之后，请问怎么准确推出AD,CD=2√2（我的意思是∠ADB,∠CDB实际上一定是60°，不可以是别的度数吗），三视图中不是有个什么“高平齐”之类的原则的吗？

追答

这个吧，您说的“高平齐”之类的原则其实我还真的不太了解，不过您问的“做投影之后，请问怎么准确推出AD,CD=2√2（我的意思是∠ADB,∠CDB实际上一定是60°，不可以是别的度数吗）”我倒是可以按我的想法解释一下，其实我算的AD,CD=2√2并不是做投影之后得出来的，要看已知，已知说了这个图形是正四面体（所有棱长都相等的三棱锥），棱长都相等了，就是所有边都相等了，它一定是等边△的，∠ADB,∠CDB实际的角度就自然是60°，这都是已知得的，不是根据投影规则算的，所以不可以是别的度数，如果说别的题有别的度数，那也应该是已知规定的，规定完了就是一个固定的度数，不可以再改变了（而这道题规定的就是60°）。有点罗嗦，呵呵，不知道您能理解不

Answer 3

先看第一个图，设AC与BD交于E
∵ABCD为正方形
∴AC垂直BD，BE=CE
∵边长为2，即BC=2
∴BE=√2,BD=2√2
∴棱长为2√2（由于俯视原因，BD为真实棱长）
（具体我也不知道这里的主视图指的是什么，不过根据答案可理解为如下）
D作垂线，交AC于O,连接BO
则△BOD为所求三角形
∵△ADC,△ABC均为等边△，且边长为2√2
∴BO=DO=√6
∴ △BOD为等腰三角形
O作垂线OF交BD于F
∴OF=√（6-2）=2
∴S△BOD=1/2 *BD *OF
= 1/2 * 2√2 * 2
=2√2

。。。。。应该是这样的吧

追问

O(∩_∩)O谢谢，请您不要复制楼上的答案

Answer 4

答案错了，
AC是虚线，在下面，所以正视图应该以AC为边的
AC是棱，长2
正视图的高应该是异面直线AC与BD间的距离√2
面积为√2

追问

O(∩_∩)O谢谢，但是答案并没出错，只是这里：【即：根据题意，画出图形，结合题目所给数据，求出正视图的三边的长，可求其面积．这个正四面体的位置是AC放在桌面上，
BD平行桌面，它的正视图是和几何体如图，
则正视图 BD=2√2，DO=BO=√6，
∴S△BOD=1/2 * 2√2 * √（6-2），
故答案为：2】，打漏了“故答案为：2√2”

追答

我错了，棱长应该是2√2，答案是对的。

追问

O(∩_∩)O谢谢，没事~

Answer 5

你可以试试把题目中的图看成立体的，学学三视图的投影与立体图形的作图规则。
由图可以看到：BD是水平的，则BD在正视图、俯视图与在立体图形长度不变，由正方形的性质得BD=2√2，
其他的看看ffbb306 的回答