Question

高中数学数列题，求解答。

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1/4且Sn=S(n-1)+a(n-1)+1/2，数列{bn}满足b1=-119/4且3bn-b(n-1)=n[n>=2] ①求{an}通项公式②求{bn}通项公式。【要求带过程】

Answer 1

a(n)的通项公式很简单，就像楼上所说的一样，这就不再重复了。至于b(n)嘛，因为3b(n)-b(n-1)=n，等式两边同时乘以3^(n-1)，得3^n*b(n)-3^(n-1)*b(n-1)=n/3^(n-1)，令c(n)=3^n*b(n)并代入，得 c(n)-c(n-1)=n/3^(n-1),也有c(n-1)-c(n-2)=n/3^(n-2),c(n-2)-c(n-3)=n/3^(n-3)……c(2)-c(1)=2/3，各项叠加就有c(n)-c(1)=2/3+3/3^2+4/3^3+……+n/3^(n-1)，令右端的和等于T(n),那么1/3*T(n)=2/3^2+3/3^3+4/3^4+……+n/3^n，再用T(n)-1/3*T(n)=2/3-n/3^n+(1/3^2+1/3^3+1/3^4+……+1/3^(n-1))=2/3-n/3^n+(1-1/3^(n-2))/6=5/6-(n+3)/3^n，所以T(n)=5/4-(n+3)/(2*3^(n-1))，c(n)=c(1)+T(n),其中c(1)=3*b(1)=-357/4,所以c(n)=-88-(n+3)/(2*3^(n-1)),因此b(n)=3^n*c(n)=-88*3^n-3(n+3)/2。计算量有点大，但整体思路比较简单。顺便说一下，答案可能算错了，但方法是对的，楼主可以根据这个思路自己再算一遍来确认一下

Answer 2

Sn = Sn-1 + An-1 + 1/2
Sn = Sn-1 + An - An + An-1 +1/2
Sn = Sn - An + An-1 + 1/2
Sn = Sn - An + An-1 + 1/2
An = An-1 + 1/2
d = An - An-1 = 1/2
An = 1/4 + (n - 1)/2 = (2n - 1)/4

Answer 3

(1)由Sn=S(n-1)+a(n-1)+1/2得
Sn-S(n-1)=a(n-1)+1/2，而Sn-S（n-1）=an,则有
a(n)=a(n-1)+1/2，可知{a(n)}是以1/4为首项，1/2为公差的等比数列
所以a(n)=a1+(n-1)*(1/2)=1/4+(n-1)*1/2=0.5n-0.25

(2)由3b(n)-b(n-1)=n 变形得，
3（bn-1/2*n+1/4）=b(n-1)-1/2*(n-1)+1/4,
令c(n)=b(n)-1/2*n+1/4,则有
3c(n)=c(n-1)，
c(n)/c(n-1)=1/3,
可知{c(n)}是以c1=b1-1/2*1+1/4=-50为首项，1/3为公比的等比数列，
c(n)=-50*(1/3)^(n-1)
即，b(n)-1/2*n+1/4=-50*(1/3)^(n-1),
得b(n)=-50*(1/3)^(n-1)+1/2*n-1/4

Answer 4

(1)由Sn=S(n-1)+a(n-1)+1/2得
Sn-S(n-1)=a(n-1)+1/2
即a(n)=a(n-1)+1/2
即a(n)-a(n-1)=1/2
所以a(n)=a1+(n-1)*(1/2)=1/4+(n-1)*1/2=(n-1/2)/2

Answer 5

a(n)的通项公式很简单，和上面说的一样。bn的变形说明：
由3b(n)-b(n-1)=n 变形得，b(n)=(1/3)b(n-1)+(1/3)n ------------(1)
令｛b(n)+x*n+y}为以1/3为公比的等比数列，则有
b(n)+x*n+y=(1/3)[b(n-1)+x*(n-1)+y], 化简得：b(n)==(1/3)b(n-1)+(-2/3)x*n+[(-2/3)y+(-1/3)x]---(2)
将（1）与（2）对比：(-2/3)x=1/3 (-2/3)y+(-1/3)x=0 解得：x=-1/2 y=1/4
所以数列｛b(n)+（-1/2）*n+1/4｝是以-30为首项，1/3为公比的等比数列。
b(n)=-30*(1/3)^(n-1)+1/2*n-1/4

Answer 6

一：1-H 2-A 3-E 4-C 5-G 6-B 7-D 8-F
二：ACBDACBABD
三：1.do 2.am making 3.to make 4.to do 5.made 6.does
四：1.Could you please do these things everyday?
2.We need more snacks and drinks.
3.Thank for me asking your party very much.
4.May i have a cup often please?
5.Could i please speak to Bruce?