Question

我们的银河系的恒星大约四分之一是双星。 有一种双星，质量分别是m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速...

我们的银河系的恒星大约四分之一是双星。 有一种双星，质量分别是m1和m2的两个星球，绕同一圆心做匀速圆周运动。它们之间距离恒为L，不考虑其他星体的影响。两颗星的轨道半径和周期各是多少？

Answer 1

设圆心距离 m1 、m2 分别 x1 和 x2
x1 + x2 = L 。。。。。。。。。 (1)式
两者间的万有引力
F = G* m1 * m2 * /L^2 。。。。。。。。 （2）式

F同时是两个星体圆周运动的向心力
设它们的速度分别为 v1 和 v2

m1 * v1^2 /x1 = m2 * v2^2 /x2 。。。。。。。 （3） 式

设它们的角速度为 w。
这里需要明确，它们的角速度是相同的。因为它们是在相同来源的万有引力下绕共同的圆心做圆周运动。
v1 = x1 * w
v2 = x2 * w
这两个关系代入到 （3） 式中，消去 w ，得到：
m1 * x1 = m2 * x2 。。。。。。。。 (4)
（题外话：可以看到，这个式子与杠杆平衡方程一模一样。圆心所在位置其实就是 m1 和 m2 的质量中心。）

（4） 与 （1） 联立，容易算出
x1 = [m2/(m1+m2)] * L
x2 = [m1/(m1+m2)] * L

x1 和 x2 即为两颗星的轨道半径。

下面求周期。
F = G* m1 * m2 * /L^2 = m1 * v1^2 /x1 = m1 * (v1/x1)^2 * x1

周期 T = 2 * Pi * x1 /v1
= 2 * Pi * SQRT [ m1 * x1 * L^2 / (G * m1 * m2)]
= 2 * Pi * SQRT { L^3 /[G(m1+m2)}

这里 Pi 为圆周率， SQRT = Squre Root 表示开平方运算。

两颗星星的周期和角速度均相同。

Answer 2

m1的轨道半径为r1、m2的轨道半径为r2
r1+r2=L
Gm1m2/L^2=m1(4π^2/T^2)r1.........(1)
Gm1m2/L^2=m2(4π^2/T^2)r2.........(2)
由（1）（2）得，m1r1=m2r2，又r1+r2=L
解得r1=m2L/(m1+m2)............(3)
r2=m1L/(m1+m2)............(4)
将（3）代入（1）得T=2πL√[L/G(m1+m2)]