Question

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=(an+a(n+1))/2. (1)bn=a(n+1)-an,证明:{bn}是等比数列 ...

已知数列{an}满足a1=1,a2=2,a(n+2)=(an+a(n+1))/2. (1)bn=a(n+1)-an,证明:{bn}是等比数列 (2)求{an}的通项公式

Answer 1

(1)a(n+2)-a(n+1)=(an+a(n+1))/2-a(n+1)=(an-a(n+1))/2
即有b(n+1)=bn*1/2
b(n+1)/bn=1/2
所以,{bn}是一个首项是a2-a1=1,公比是1/2的等比数列.
(2)bn=1*(1/2)^(n-1)
即有a(n+1)-an=(1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(1/2)^(n-2)
....
a2-a1=(1/2)^0
以上各式相加得:
an-a1=(1/2)^(n-2)+(1/2)^(n-3)+...+(1/2)^0=1*(1-(1/2)^(n-1))/(1-1/2)=2(1-(1/2)^(n-1))=2-4*(1/2)^n
故an=a1+2-4*(1/2)^n=3-4*(1/2)^n

Answer 2

1.
a(n+2)=[an+a(n+1)]/2
2a(n+2)=an+a(n+1)
2a(n+2)-2a(n+1)=-a(n+1)+an
[a(n+2)-a(n+1)]/[a(n+1)-an]=-1/2，为定值。
a2-a1=2-1=1
数列{a(n+1)-an}是以1为首项，-1/2为公比的等比数列。
又bn=a(n+1)-an
数列{bn}是以1为首项，-1/2为公比的等比数列。
(2)
a(n+1)-an=1×(-1/2)^(n-1)=(-1/2)^(n-1)
an-a(n-1)=(-1/2)^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=(-1/2)^(n-3)
…………
a2-a1=(-1/2)^0
累加
an-a1=(-1/2)^0+(-1/2)^1+...+(-1/2)^(n-2)=1×[1-(-1/2)^(n-1)]/[1-(-1/2)]=(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]
an=a1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]=1+(2/3)[1-(-1/2)^(n-1)]
=1+2/3 -2×(-1)^(n-1)/[3×2^(n-1)]
=5/3 +(-1)^n/[3×2^(n-2)]
n=1时，a1=5/3 -1/[3×2^(1-2)]=5/3-2/3=1，同样满足。
n=2时，a2=5/3 +1/[3×2^(2-2)]=5/3+1/3=6/3=2，同样满足。
综上，得数列{an}的通项公式为an=5/3 +(-1)^n/[3×2^(n-2)]

Answer 3

解

见图

算的急，你再仔细检查一下