Question

急急急 高中数学问题

已知椭圆C；x²/a²+y ²/b²=1（a ＞ b＞ 0)的离心率e=√3/2，椭圆C的右焦点为F，抛物线y²=8x的焦点恰好是该椭圆的一个顶点。
（1）设经过点F的直线L交椭圆C于A,B两点，交y轴于点P，且向量PA=λ1向量AF,向量PB=λ2向量BF，试问λ1+λ2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由。
请写下具体解题过程，谢谢了。

Answer 1

解:(1)
联立
x+y=1
x^2/a^2+y^2/b^2=1
得
（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0
韦达定理,得

X1+X2=2a^2/(a^2+b^2)
X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2

向量OP⊥向量OQ
∴X1X2+Y1Y2=0
2a^2b^2=a^2+b^2

1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 ..........(1)

(2)
√3/3≤e≤√2/2

1/3≤e^2=1-b^2/a^2≤1/2

2/3≥b^2/a^2≥1/2

1) b^2/a^2=1/2 时
代入（1）
得a=√6/2

2) b^2/a^2=2/3 时

代入（1）
得a=√5/2

椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]

Answer 2

解:(1)
联立
x+y=1
x^2/a^2+y^2/b^2=1
得
（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2(1-b^2)=0
韦达定理,得

X1+X2=2a^2/(a^2+b^2)
X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2

向量OP⊥向量OQ
∴X1X2+Y1Y2=0
2a^2b^2=a^2+b^2

1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 ..........(1)

(2)
√3/3≤e≤√2/2

1/3≤e^2=1-b^2/a^2≤1/2

2/3≥b^2/a^2≥1/2

1) b^2/a^2=1/2 时
代入（1）
得a=√6/2

2) b^2/a^2=2/3 时

代入（1）
得a=√5/2

椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]