Question

高一数学！sinC+cosC=1-sinC/2

已知sinC+cosC=1-sinC/2,则sinC=？
若a^2+b^2=4(a+b)-8，求c边长度。

叩谢

Answer 1

❶因为sinC+cosC=1-sinC/2
利用二倍角公式得2sinC／2·cosC／2＋1－2sin²C／2＝1-sinC/2
移项合并同类项sinC／2﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
所以sinC／2=0或﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
当sinC／2=0时，sinC=2sinC／2·cosC／2=0
当﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0时cosC／2－sinC／2=1／2
两边平方得1－sinC=1／4,所以sinC=3／4
综上所述sinC=3／4或0(应舍去，因为sinC=0时，C为0度，在三角形中不可能有0度角）

❷因为a²＋b²=4(a+b)-8,
移项a²＋b²－4a－4b＋8=0
变形﹙a²－4a＋4﹚＋﹙b²－4b＋4﹚=0
所以﹙a－2﹚²＋﹙b－2﹚²=0
即a=2,b=2
通过sinC求出cosC
a,b,cosC都知道了，然后用余弦定理求c

Answer 2

❶因为sinC+cosC=1-sinC/2
利用二倍角公式得2sinC／2·cosC／2＋1－2sin²C／2＝1-sinC/2
移项合并同类项sinC／2﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
所以sinC／2=0或﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
当sinC／2=0时，sinC=2sinC／2·cosC／2=0
当﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0时cosC／2－sinC／2=1／2
两边平方得1－sinC=1／4,所以sinC=3／4
综上所述sinC=3／4或0
❷因为a²＋b²=4(a+b)-8,
移项a²＋b²－4a－4b＋8=0
变形﹙a²－4a＋4﹚＋﹙b²－4b＋4﹚=0
所以﹙a－2﹚²＋﹙b－2﹚²=0
即a=2,b=2
没有角怎么求边c?

Answer 3

因为sinC+cosC=1-sinC/2
利用二倍角公式得2sinC／2·cosC／2＋1－2sin²C／2＝1-sinC/2
移项合并同类项sinC／2﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
所以sinC／2=0或﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0
当sinC／2=0时，sinC=2sinC／2·cosC／2=0
当﹙2cosC／2－2sinC／2＋1﹚=0时cosC／2－sinC／2=1／2
两边平方得1－sinC=1／4,所以sinC=3／4
综上所述sinC=3／4或0
因为a²＋b²=4(a+b)-8,
移项a²＋b²－4a－4b＋8=0
变形﹙a²－4a＋4﹚＋﹙b²－4b＋4﹚=0
所以﹙a－2﹚²＋﹙b－2﹚²=0
即a=2,b=2
通过上述可知sinc=3∕4（等于0不要考虑） 然后用公式求即可

Answer 4

（1）
sinC+cosC=1-sinC/2，移项得 sinC-sinC/2 = 1-cosC
由二倍角公式得 2sinC/2 cosC/2-sinC/2 = 2(sinC/2)^2
因为sinC/2≠0，所以两边消去sinC/2得 2cosC/2-1 = 2sinC/2
整理得 sinC/2-cosC/2=1/2
根据辅助角公式得sin(C/2-π/4)=√2 /4
再由二倍角公式得cos(C-π/2)=1-2sin(C/2-π/4)^2=3/4
∴sinC=cos(C-π/2)=3/4
(2)
移项、配方得 (a-2)^2+(b-2)^2=0 故a=b=2
由余弦定理 c^2=a^2+b^2-2ab*cosC=4+4-8cosC
又由（1）中 sinC/2-cosC/2=1/2 可知 sinC/2 > cosC/2 >0
所以 cosC=(cosC/2)^2-(sinC/2)^2 < 0，从而 cosC= -√7/4
所以 c^2=8-8cosC=8+2√7=（1+√7)^2
c= 1+√7