Question

设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1 α2，试证:C1α1+C2α2

设λ1 λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1 α2，试证:C1α1+C2α2 (C1 C2为任意非零常数）不是A的特征向量

Answer 1

假设C1α1+C2α2 是A的特征向量，那么存在t 使得：
A(C1α1+C2α2 )=t(C1α1+C2α2 )
又Aα1=λ1α1 Aα2=λ2α2
代入就得到：
C1λ1α1+C2λ2α2=t(C1α1+C2α2 )
所以(λ1-t)C1α1+(λ2-t)C2α2=0
如果λ1=t 那么(λ2-t)C2α2=0 那么λ2=t=λ1 与λ1λ2不同矛盾 ，所以λ1不等于t
同理λ2不等于t
所以α1=xα2 x=-(λ2-t)C2/(λ1-t)C1
所以Aα1=A(xα2)=xλ2α2=xλ2α1/x=λ2α1
那么λ1=λ2，又产生矛盾
所以综上可得C1α1+C2α2 (C1 C2为任意非零常数）不是A的特征向量