Question

已知O是正三角形ABC内部一点，向量OA+2向量OB+3向量OC=0，则三角形OAC与三角形ABC的面积之比是？

Answer 1

已知O是正三角形ABC内部一点，向量OA+2向量OB+3向量OC=0，则三角形OAC与三角形ABC的面积之比是？
解析：根据三角形内心向量形式的充要条件
若a向量OA+b向量OB+c向量OC=0, 则O为⊿ABC的内心
∵向量OA+2向量OB+3向量OC=0
∴O为⊿ABC的内心
∵内心分三角形一边上中线之比为2：1，即内心到一边中点距离=该中线的1/3
∴S(⊿OAB)=S(⊿OBC)=S(⊿OAC)
∴三角形OAC与三角形ABC的面积之比是1/3

Answer 2

三部分三角形面积比为S(OAB)：S(OBC)：S(OAC)=（1/2）：（1/6）：（1/3）=3：1：2，则三角形OAC与三角形ABC的面积之比为2：6=1/3