Question

看上去简单却十分难的一道几何证明题 求数学高手解答

如图，△ABC中，BE、CD分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，且BE=CD。求证：△ABC是等腰三角形。
……

Answer 1

证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCD=∠DCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBD。
在△BCD和△CBE中，因为BC=BC, BE=CD，∠BCD>∠CBE.
所以 BD>CE。 (1)
作平行四边形BEGD，则∠EBD=∠DGC,EG=BD,FG=BE=CD，连CG，
故△DCG为等腰三角形，所以∠DCG=∠DGC。
因为∠DCE>∠DGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BD. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
所以△ABC为等腰三角形。

证法二 在△ABC中，假设∠B≥∠C，则可在CD上取一点D'，使∠D'BE=∠ECD'，这有CD≥CD'。
延长BD'交AC于A',则由∠BA'E=∠CA'D',有ΔA'BE∽ΔA'CD'.
从而A'B/A'C=BE/CD'≥BE/CD=1.
那么在△A'BC中，由A'B≥A'C，得:
∠A'CB≥∠A'BC，即∠C≥(∠B+∠C)/2，故∠B≤∠C。
再由假设∠B≥∠C，即有∠B=∠C。
所以△ABC为等腰三角形。

Answer 2

题目与图有误？应该题目如下：
如图，△ABC中，BD、CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，且BE=CD。求证：△ABC是等腰三角形。
证明：因为BD、CE分别为∠ABC，∠ACB的角平分线，所以由角平分线定理得：
AC:BC=AE:BE AB:BC=AD:CD
AE=AC.BE/BC........(1) AD=AB.CD/BC.........(2) (1)/(2)得：∽
AE:AD=(AC.BE.BC)/(AB.CD.BC)，由于BE=CD,则
AE:AD=AC:AB
在△BAD与△CAE中，有公共角∠A,又有其对应边成比例，根据相似三角形的判断定理得
△BAD∽△CAE 由相似三角形的特性知道，其对应角相等，有
∠ABD=∠ACE 即1/2∠A=1/2∠B ∠A=∠B
故：三角形ABC为等腰三角形。
证毕

追问

原题无误 此题难度很大

追答

证明：设△ABC各角∠A、∠B、∠C 所对应的边分别为a、b、c。
已知∠B、∠C 的角平分线 BE=CD
假设边AB>AC, 即有 c>b , ∠C>∠B
我们试以△ABC的边、角来表示角平分线BE、CD,同时利用三角形
的面积公式到以下等式：
S△ABC= 1/2a.b.sinB=1/( 2) c.BE.sinB/2 + 1/( 2) a.BE.sinB/2
由此可得： BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)
同理可得： CD=(2cosC/2)/(1/b+1/a)
又 0 cosC/2; （∠C>∠B）
又 1/c+1/ab)
BE=(2cosB/2)/(1/c +1/a)> (2cosC/2)/(1/b+1/a)=CD
得： BE>CD
此结果与已知条件BE=CD矛盾，又我们再假设AB<AC,用同样的方法
得到BE<CD。所以在本题的已知条件下，两底角的角平分线相等，其
对应的两条边不相等的可能性不存在！
故：AB=AC 即△ABC为等腰三角形。
（同时我们也证明了：“任意三角形内大边上的角平分线较短”）

Answer 3

应该是BD、CE吧？

后面的字母确定对吗？

追问

原题无误 此题难度很大

Answer 4

证法一 设AB≠AC,不妨设AB>AC，这样∠ACB>∠ABC，从而∠BCD=∠DCE=∠ACB/2>∠ABC/2=∠CBE=∠EBD。
在△BCD和△CBE中，因为BC=BC, BE=CD，∠BCD>∠CBE.
所以 BD>CE。 (1)
作平行四边形BEGD，则∠EBD=∠DGC,EG=BD,FG=BE=CD，连CG，
故△DCG为等腰三角形，所以∠DCG=∠DGC。
因为∠DCE>∠DGE，所以∠ECG<∠EGC。
故得 CE>EG=BD. (2)
显然(1)与(2)是矛盾的，故假设AB≠AC不成立，于是必有AB=AC。
所以△ABC为等腰三角形。

Answer 5

不太确定你到底是题设里说错了，还是图里面的D E标反了。改一下亲~

追问

是两条角平分线相等