Question

如图，三角形ABC中角ACB=90度，CD垂直AB于D，AE是角CAB的平分线，交CD于点F，交CB于点E。

如图，三角形ABC中角ACB=90度，CD垂直AB于D，AE是角CAB的平分线，交CD于点F，交CB于点E。求证；AF/AE=CD/CB

Answer 1

作EN⊥AB，垂足N，

∵CD⊥AB，EN⊥AB，

∴CD//EN，

即FD//EN，

根据三角形平行线段比例的性质，（或者是△AFD∽△AEN）

AF/AE=FD/NE，

∵AE是〈A的平分线，

EC⊥AC，EN⊥AB，

∴CE=EN，（角平分线上任意一点至两边距离相等）

∴AF/AE=DF/CE，（1）

∵《CAE=〈FAD，

〈ACE=〈ADF=90°，

∴RT△ACE∽RT△ADF，

∴DF/CE=AD/AC，（2）

∵〈ACD+〈CAD=90°，

〈CBA+〈CAB=90°，

∴〈CBD=〈ACD，

〈BDC=〈ADC=90°，

∴RT△ACD∽RT△CBD，

∴AC/BC=AD/CD，

AD/AC=CD/BC（更比），（3）

对比（1）、（2）、（3）式，

∴AF/AE=CD/BC。

追问

《什么意思
更比？？？

追答

若a/b=c/d,a/c=b/d,就是更比，分子比分子=分母比分母，
如1/2=3/6，==》1/3=2/6。

Answer 2

证明：
∵CD⊥AB
∴∠ADF=∠ACE=90°
∵∠CAE=∠DAF
∴△CAE∽△DAF
∴AF/AE=AD/AC
∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴△ACD∽△CBD
∴AD/AC=CD/CB
∴AF/AE=CD/CB