Question

3×1/3=1，而1/3=0.333……，0.333……×3=0.999……，这是怎么回事？

Answer 1

1/3≈0.333……这个为什么大学会学
　循环小数的问题中，最著名的是0.999…是否等于1的问题代数方法为： 　
　证明: 　　假设X=0.999... 　　
∵ 　　10X = 9.999... ... 　
即 　　9x = 9 　　
∴ 　　x = 1 　　以上的推理过程都是比较严密的，并不是所谓0.3=1/3而0.9<1（这个才是最高级的证明，大家都要学会这种紧扣定义的证明方法，而不是这个看似严谨，其实缺乏严谨的证明）。
在我们所使用的数学中， 0.9（9循环）=1。 　
这个证明有问题。因为没有注意无穷的复杂性。其实上面的证明有两个结果，一个是： 　　x=1 即上面已经得出的结果。但是如果从 　　10x=9.99... 　　出发，把两边同时除以10，则得到的还是 　　x=0.999.... 　　这两个结果中应该只有一个是正确的。很显然，x=0.999...的结果比x=1的结果更可信。没有仔细考察就对无穷进行推论是不合适的。 　
　我已经证明了1不等于0.999...。 　　利用逻辑非常容易证明0.9…≠1。 　　请比较下面的两个式子： 　　1=1-1/10 (n→∞) (1) 　　1=1-1/10 + 1/10 (n→∞) (2) 　　这两个式子显然不完全相同，有差别。所以应该只有一个是正确的，不可能两个都是正确的。稍微细心一些，就会看出（1.1）式的右侧比（1.2）式的右侧少一个1/10。所以（1.2）式肯定是正确的，而（1.1）式就不成立。 　　但是（1.1）式的右侧就是0.9...。 　　
而认为1/10=0会导致任何数都相等 　　如果认为 　　1/10=0（它是认为0.9…=1的直接推论）（3） 　　而且认为它是严格的相等，则由于“严格地相等”可以无穷递推，即得到： 　　2×1/10=0， （4） 　　3×1/10=0， （5） 　　… 　　无穷地增加下去，总有一个时刻会得到： 　　10×1/10=0。 （6） 　　但是一个显然的事实是：（1.2.4）式的右侧等于1，而不是0。 　　再同样地推下去，则任意两个数都可以相等。这显然太荒谬了。 　　还可以利用计算的数值的结果证明。但是需要微积分。故略。可以查看李长白数学网的有关文章。 　　以上方法严格讲都是有缺陷的,真正的方法如下: 　　依照循环小数定义: 　　如1/3 在进行除法运算的时候, 　　在用三除的时候余下的一位为1,这样继续进行下去的时候,根据归纳可知,这个小数后面会有无数个3,而且都 是三,所以1/3 = 0.3 3循环 　　然后我们看0.9 9循环 　　我们用1/1来进行计算,不同的是,我们不要一次将1除尽,我们直接退位进行计算 　　第一步就是得0.9余0.1,这个没有问题,也不违反任何运算规则, 　　通过这样的方式计算,可以得出1/1通过除法运算的时候可以表示为0.9 9循环 　　即0.9 9循环等于1 　　证毕 　　没有用到极限(根本和循环小数无关的),和循环小数运算法则! 　　只用了分数除法,和循环小数定义!

Answer 2

相等啊。这还有什么疑问的。
完全可以用极限来证明的。下面给出常见的证明方法：

一、等比数列求和：
S=0.3+0.03+0.003+……+=lim0.3/(1-0.1)=1/3
因为等比数列公比q绝对值小于1时，前n项和的极限为
a1/（1-q），a1为首项。

二、设x=0.333……，则10x=3.333……=3+x
所以x=1/3证毕。

Answer 3

0.9循环等于1
代数方法证明：
设0.9循环=X，
　　则0.9循环*10=9.9循环
　　9.9循环-0.9循环=9
　　10X-X=9
　　9X=9
　　X=1
　　即0.9循环=1