Question

在直角梯形ABCD中，AD∥BC,∠ABC=90°，DE⊥AC于点F，交BC于点G,交AB的延长线于点E，且AE=AC。

（1）求证：BG=FG；
（2）若AD=DC=2，求AB的长．

Answer 1

(1)连EC
∵DE⊥AC，AB⊥BC
∴∠EBC=∠CFE
∵AE=AC
∴∠BEC=∠FCE
∵∠BEC=∠FCE
∠EBC=∠CFE
EC=CE
∴△EBC≌△CFE
∴BE=FC
∵∠BGE=∠FGC
∠EBG=∠CFG
BE=FC
∴△BGE≌FGC
∴BG=FG
(2)∵AD=CD
∴在Rt△AFD与Rt△DFC中
AD=CD
DF=DF
∴Rt△AFD≌Rt△CFD
∴AF=CF
∴在Rt△AFE与Rt△CFE中
AF=CF
∠AFE=∠CFE
EF=EF
∴△AFE≌△CFE
∴AE=EC
∴AE=EC=AC
∴∠EAC=∠ECA=∠ACE=60°
∴∠DAC=30°
又∵AD=DC
∴∠DAC=∠DCA=30°
∴DF=1
∴AF=根号三
又∵AC=CE
BC=BC
∴Rt△ABC≌Rt△EBC
∴AB=BE
又因为BE=CF=AF
∴AB=根号三

Answer 2

证明：（1）连接E、C两点
由AE=AC得 角AEC=角ACE
由角E、角BCE都与角EAC互余可知，角E=角BCE
又EC是三角形BEC与FCE的公共边
所以这两三角形全等
从而得到BC=FC
很容易就等到BG＝FG。
（2）连接AG，由　BG＝FG可以得到AG是角BAC的平分线，可得到AB＝AF（直角三角形的HL）
又AB＝CD＝2，BE垂直AC
所以F是AC中点
因此AB／AC＝AF／AC＝1／2（若学过三角函数就可以知道角ACB＝30度了，很简单算出AB等于根号三）若没学可用相似三角形如下：
作DH垂直BC与H
可证ABC相似于CHD
用相似比算出AB等于三的算术根