Question

在三角形ABC中，已知a:b:c=2:根号6：（根号3+1），求三角形ABC的各角度数.

我的做法，a:b:c=根号2/2:根号3/2:根号2/4*（根号3+1）,所以sinA:sinB=根号2/2:根号3/2=sin45°:sin60°则A=45°,B=60°,所以C=75°.感觉这样写，不严谨，谁能帮我把过程完善下哈，就按照这个思路。

根据余弦定理计算出来的结果一样，结果也只有这一种，但inA:sinB=根号2/2:根号3/2=sin45°:sin60°这步过程感觉不严谨，但既然只有这一种结果，说明这是对的，那这样的做法就有一定的道理，求完善。，。

Answer 1

a:b:c = 2 :√6 : (√3+1)
= (2/√8) : (√6/√8) : (√3+1)/√8
= √2/2 : √3/2 : (√6+√2)/4
上式等号右边的各比例项的大小关系是： √2/2 < √3/2 < (√6+√2)/4
即： a < b < c
根据在同一个三角形内, 大角对大边, 小角对小边的性质, 可得:
∠A < ∠B < ∠C
又因为三角形的三个内角和等于180°，则该三角形的三个内角中，除了∠C有可能大于90°外，∠A 与 ∠B 只能是小于90°的锐角。

∵ a:b = √2/2 : √3/2
根据正弦定理，得 sinA : sinB = √2/2 : √3/2
且∠A 与 ∠B 均是锐角
∴ ∠A = 45° , ∠B = 60°

追问

很不错，再问下，为什么说，
∠A 与 ∠B 均是锐角
∴ ∠A = 45° , ∠B = 60°

追答

在锐角范围内，
sinA : sinB = √2/2 : √3/2
∠A = 45°, ∠B = 60°是最典型的一组解。
且由此可得 ∠C = 75°
sinC = sin75°= (√6+√2)/4
则 sinA : sinB : sinC = a : b : c = √2/2 : √3/2 : (√6+√2)/4 正符合前面的推导

追问

难道在锐角范围内，sinA : sinB = √2/2 : √3/2就一定能得到∠A = 45°, ∠B = 60°么？有什么根据呢？？想不通啊、

追答

不是一定，也可以得出其它值。
但根据经验要首先往这两个特殊角去想，然后再通过∠C去验证。如果通过∠C验证是正确，就可以确定了。

Answer 2

用余弦定理：①2²＝（√6）²＋（√3＋1）²﹣2√6×（√3＋1）cosA,
cosA＝√2／2, ∴A ＝45º.
② (√6)²＝2²＋(√3＋1)²﹣2×2(√3＋1}√6cosB.,
cos B＝1／2, ∴B＝60º.
③∠c ＝180º﹣45º﹣60º＝75º.

追问

这种方法我知道，我的有一步不严谨，麻烦完善下。。。上面有写、

追答

“我的做法，a∶b∶c＝√2／2∶√3／2∶√2／4(√3＋1)”。第一步就不合已知：
题目是“a∶b∶c＝2∶√6∶√3＋1”。

追问

...你给同时乘以根号2/4就得到了。。

Answer 3

a:b:c=2:根号6:(根号3+1)
利用余弦定理
cosA=(b^2+c^2-a^2)/2bc
可求得cosA=√2/2
∴∠A=45°
同理可以求得
cosB=1/2
∴∠B=60°
∴C=180°-45°-60°=75°