Question

在△ABC中，角ACB=90度，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE。 (1)求证:四边形BECF是菱形; (2)...

在△ABC中，角ACB=90度，BC的垂直平分线EF交BC于D，交AB于E，且CF=BE。
(1)求证:四边形BECF是菱形;
(2)当角A的大小满足什么条件时，菱形BECF是正方形？请回答并证明你的结论。

Answer 1

菱形
由已知条件知ED为三角形ABC的中位线
故BE=AE
又AE=CF
故BE=CF
又CE为直角三角线ABC斜边上的中线
故CE=BE
故BE与CF平行且相等
故BF=CE
所以BE=CE=CF=BF
故四边形BECF是菱形

2）当∠A=45°时 菱形BECF是正方形

理由是：

当∠A=45°时△ABC为等腰直角三角形

因为 ED是△ABC的中位线 (因为D是BC重点且ED∥AC）

所以 E是AB的中点

因为 △ABC为等腰直角三角形

所以 CE⊥AB

所以 ∠CRB=90°

因为 四边形BECF是菱形（第一问已证得）

所以 菱形BECF是正方形

Answer 2

证明过程：
（1）由题：EF为BC的垂直平分线交于D点
故有：CD=BD DE=DF
还有：△CDF和△BDE为直角三角形
在上面两个三角形中 角CDF与角BDE为90° 斜边CF=BE（已知）
故可以证明：直角△CDF和直角△BDE全等
所以有：DE=DF
即有：在四边形BECF中，对角线BC和EF相互垂直且平分
得到：四边形BECF为菱形。
（2）角ACB=90° 角EDB=90°
所以：AC和EF平行
所以：角CAB=角DEB
又在菱形BECF中 EF平分角CEB 即 角CED=角DEB
所以：当角A=45°时 角DEB=角CED=45°
所以：角CEB=90°
在菱形BECF中，角CEB=90° 即可得证菱形BECF是正方形。

证明结束！！！

Answer 3

解：（1）∵EF垂直平分BC，
∴CF=BF，BE=CE，∠BDE=90°，BD=CD，
又∵∠ACB=90°，
∴EF∥AC，
∴BE：AB=DB：BC，
∵D为BC中点，
∴DB：BC=1：2，
∴BE：AB=1：2，
∴E为AB中点，
即BE=AE，
∵CF=AE，
∴CF=BE，
∴CF=FB=BE=CE，
∴四边形BECF是菱形．

（2）当∠A=45°时，四边形BECF是正方形．
证明：∵∠A=45°，∠ACB=90°，
∴∠CBA=45°，
∴∠EBF=2∠CBA=90°，
∴菱形BECF是正方形．
参考悦考网http://www.ykw18.com/tquestion/detail.html?tq=15268816

Answer 4

(1)因为ef为bc边的垂直平分线，
所以ce=be，cf=bf（垂直平分线线上的点到两端点的距离相等）
又因cf=bf，
所以cf=bf=be=ce，
所以四边形becf是菱形
（2）当角A=45度时，菱形becf是正方形。
因为角ACB=90度，当角A=45度时，角ABC=45度
由（1）证明:四边形BECF是菱形，而菱形的对角线也是他的角平分线，
所以角EBF=90度，
菱形的一个角为90度，那么这个菱形及为正方形。

Answer 5

证它四边相等，可利用三角形全等。当角a是45度时是正方形。ef与ac平行，又正90度。