Question

如图,在四边形ABCD中,AB=AC,DB⊥AB,DC⊥AC，且E、F、G、H分别为AB、AC、CD、BD的中点

（1）求证EH=FG；
（2）连接AD、BC交于点O，则AD、BC有何关系？证明你的结论

Answer 1

证明：如图所示

（1）∵E、F、G、H分别是AB、AC、CD、DB的中点，
∴EH、FG为△ADB、△ADC的中位线．
∴EH=AD/2，FG=AD/2．
∴EH=FG．

（2）∵AB=AC， DB⊥AB，DC⊥AC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC．（斜边直角边）
∴∠BAD=∠CAD．
∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AO=AO，
∴△BAO≌△CAO．（边角边）
∴∠BOA=∠COA，BO=CO．
∵∠BOA ∠COA=180°，
∴∠BOA=∠COA=90°．
∴AD⊥BC．
∵BO=CO，
∴AD垂直且平分BC．

Answer 2

解：（1）连接AD
∵E、H是AB和BD的中点
∴EH是△ABD的中位线
∴EH＝½AD
∵F、G是AC和CD的中点
∴FG是△ACD的中位线
∴FG＝½AD
∴EH＝FG