在△ABC中,∠A=90°,AD为边BC上的高,直角△ABC、直角△ADB与直角△ADC的内切……
在△ABC中,∠A=90°,AD为边BC上的高,直角△ABC、直角△ADB与直角△ADC的内切圆分别与各三角形斜边相切与L、M、N。求证：AM·AB+CN·AC=CL·B...
在△ABC中,∠A=90°,AD为边BC上的高,直角△ABC、直角△ADB与直角△ADC的内切圆分别与各三角形斜边相切与L、M、N。求证：AM·AB+CN·AC=CL·BC
展开
1个回答
展开全部
证明：设AB=c,BC=a,CA=b,由已知易求BD=c^2/a,CD=b^2/a,AD=bc/a.
CL=(a+b-c)/2,CN=(CA+CD-AD)/2=(b+b^2/a-bc/a）/2，AM=(AB+AD-DB)/2=(c+bc/a-c^2/a)/2
AM*AB+CN*AC=(c+bc/a-c^2/a)/2*c+(b+b^2/a-bc/a）/2*b=(ac^2+bc^2-c^3+ab^2+b^3-b^2*c)/2a=[a(c^2+b^2)+b(c^2+b^2)-c(c^2+b^2)]/2a=(a^3+a^2*b-ca^2)/2a=(b+a-c)/2*a=CL*BC
CL=(a+b-c)/2,CN=(CA+CD-AD)/2=(b+b^2/a-bc/a）/2，AM=(AB+AD-DB)/2=(c+bc/a-c^2/a)/2
AM*AB+CN*AC=(c+bc/a-c^2/a)/2*c+(b+b^2/a-bc/a）/2*b=(ac^2+bc^2-c^3+ab^2+b^3-b^2*c)/2a=[a(c^2+b^2)+b(c^2+b^2)-c(c^2+b^2)]/2a=(a^3+a^2*b-ca^2)/2a=(b+a-c)/2*a=CL*BC
本回答由提问者推荐
已赞过
已踩过<
评论
收起
你对这个回答的评价是？
推荐律师服务：
若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询
