Question

在△ABC中， 求证：a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2

Answer 1

分析：本题主要注意两点：

①公式cos2a = 2cos²a - 1 的应用，
该公式可引申为 cosa = 2cos²(a/2) - 1

②余弦定理公式的应用。

证明：
∵cosa = 2cos²(a/2) - 1

∴2cos²(a/2) = 1 + cosa

∴2cos²(C/2) = 1 + cosC 且 2cos²(A/2) = 1 + cosA

欲证a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2

两边同乘以2，故只需证a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2) = (a + b + c)即可。

a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2)

=a × ( 1 + cosC) + c × ( 1 + cosA)

=a × [1 + (a² + b² - c²)/2ab] + c × [1 + (b² + c² - a²)/2bc]

=a + [(a² + b² - c²)/2b] + c + [(b² + c² - a²)/2b]

=a + c + [(a² + b² - c²)/2b] + [(b² + c² - a²)/2b]

=a + c + (2b²)/2b

=a + b + c

∴a × 2cos²(C/2) + c × 2cos²(A/2) = (a + b + c)

∴a × cos²(C/2) + c × cos²(A/2) = (a + b + c)/2

即原命题成立。