Question

求问一道高中数学题，关于函数的周期性，麻烦好心的朋友们帮忙看下~ 先谢谢了~

定义在R上的奇函数f(x)以5为周期,若f(3)=0,则在(0,10)内f(x)=0的接的最少个数是( )
A、3 B、4 C、5 D、6
下面是解题过程：
∵f(3)=f(3+5)=0
又∵f(- 0)= - f(0) ，∴f(0)=0 ，
又∵f(-3)=- f(3)=0，∴f(-3)=f(-3+5)=f(2)=0，
∴f(7)=f(2+5)=f(2)=0
从而f(2)=f(7)=f(3)=f(8)=f(5)=0，
而f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，
并且f(-2.5)=- f(2.5)，
∴f(2.5)=0，从而f(2.5+5)=f(7.5)=0，
∴在(0，10)内f(x)=0的解为x=2，3，5，7，8，2.5 ，7.5 ；

*请问各位这道题中为什么说(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，然后得出f(2.5)=0呢？2.5是从哪来的？另外我看网上有类似的说是从对称点得出来的，不太明白。所以麻烦各位好心的朋友帮忙解释下~ 感激ing……
谢谢各位的答案，但我是想知道f(-2.5)是怎样得出来的？周期不是整数吗，怎么会出现带有小数点的数呢？对了，是不是因为x是在区间(0，10)内取值所以可以取到类似2.5，4.8，这样的数？

Answer 1

周期为5 则f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)①，有函数为奇函数即f(-x)=-f(x)
所以f(-2.5)=- f(2.5)②，由①和②可得f(2.5)=-f(2.5)即2f(2.5)=0，f(2.5)=0就是这样来的，2.5是从哪来的，是观察思考还有做题经验，想出来的，这种题就是看你考虑全面不全面了

Answer 2

由周期函数有f（-2.5)=f(2.5)
由奇函数有 f(-2.5)=-f(2.5)
所以我们有f(2.5)=-f(2.5),所以f(2.5)=0

Answer 3

f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，是因为5是周期
f(2.5)=0：奇函有f(-2.5)=f(2.5) 另外还有f(-2.5)+f(2.5)=0 所以f(2.5)=0

追问

谢谢 ，但我想知道这个-2.5是怎样计算出来的呢？因为周期是整数，括号里的x怎么回事带小数呢？

追答

很长时间没有研究了，就自己的理解 应该是考虑到奇函数以关于原点对称，且5是其函数的周期 故选择-2.5进行研究！

Answer 4

这是因为它是奇函数，所以f(-2.5)=-f(2.5)，然后根据周期为5，f(-2.5)=f(-2.5+5)=f(2.5)，得出f(2.5)=0，就是用到了奇函数和周期函数他们的特性。

Answer 5

因为若有f(-x+5)=f(x),且f(x)=f(-x), 右边的式子保证f(x)=0
而由上面左边的式子可得-x+5=x,即x=2.5