Question

如图,在正方形ABCD中,点P为边AB上的动点，连接PD，过点D作DE⊥DP交于BC的延长线于点E。

（1）如图，连接AC,PE交于点N,求证：AB+AP=根号2AN
(2)若P点为AB的中点，AC交DP于点F,且AB=4,求FN的长
在线等啊，急求

Answer 1

证明：(1)因为∠ADP=∠CDE(同为∠PDC的余角)

DA=DC

∴RT△ADP≅RT△CDE

∴DP=DE

AP=CE

∴BE=BC+CE=AB+AP

连DB,作EF⊥DB于F,

因为∠FBE=45°=∠FEB

∴BE=√(2)EF⇒AB+AP=√(2)EF-------------------①

因为∠DFE=∠DCE=RT∠

∴DFCE四点共圆

∴∠FCE=180-∠FDE=180-45-∠CDE

设CD交PE于G

因为∠APN=180-∠BPE=180-∠CGE

∠CGE=∠DEP+∠CDE=45+∠CDE

∴∠APN=180-45-∠CDE

∴∠APN=∠FCE

又∠PAN=∠CEF=45°   AP=CD

∴△APN≅△CEF

∴AN=EF------------------------------------------②

∴由①②得：AB+AP=√(2)AN

(2)解：AC=√(2)AB=4√(2)

AB+AP=√(2)AN⇒4+2=√(2)AN⇒AN=3√(2)

因为AB∥DC⇒△(F)AP∼△(F)CD

∴A(F)/(F)C=AP/DC=1/2

∴A(F)=AC/3=4√(2)/3

∴(F)N=AN-A(F)=3√(2)-(4√(2)/3)=5√(2)/3

 注：第(1)小题用了字母F,所以第(2)小题字母F重复用(F)

以示区别，哈哈怕麻烦姑且用之，见笑了。

Answer 2

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