Question

已知f(x)=x^2-x+c的定义域为[0,1],x1,x∈[0,1],且x1≠x2,证明:|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|

Answer 1

证明a<b，只需证明a/b<1
|f(x1)-f(x2)|=|(x1+x2)(x1-x2)-(x1-x2)|
|f(x1)-f(x2)|/|x1-x2|=|[f(x1)-f(x2)]/(x1-x2)|
=|[(x1+x2)(x1-x2)-(x1-x2)]/(x1-x2)|
=|x1+x2-1|
因为x1,x2属于[0，1],x1≠x2,
所以|x1+x2-1|<1
所以|f(x1)-f(x2)|<|x1-x2|

Answer 2

|f(x1)-f(x2)|
=|x1²-x1-x2²+x2|
=|(x1²-x2²)-(x1-x2)|
=|(x1-x2)(x1+x2-1)|
∵x1,x2∈[0，1]，且x1≠x2
∴0＜x1+x2＜2 (不取“＝”是因为，x1、x2不能同时等于0，也不能同时等于2)
∴-1＜x1+x2-1＜1
∴|x1+x2-1|＜1
∴|f(x1)-f(x2)| = |(x1-x2)(x1+x2-1)| ＜ |x1-x2|

Answer 3

作差，分解因式。|f(x1)-f(x2)|=|x1-x2|*|x1+x2-1|.因为0<x1+x2<2，-1<x1+x2-1<1，0<|x1+x2-1|<1