Question

已知直线l:y=3x+3,试求： 1.点P（4,5）关于l的堆成点坐标；2.直线y=x-2关于l对称的直线方程；

3.直线l关于点A（3,2）对称的直线方程
求详细过程。

Answer 1

第一个问题：题目中的“堆成”应该是“对称”。
设点P的对称点为Q（a，b），则PQ的斜率＝（b－5）/（a－4）。
由直线 l 的方程可知：l 的斜率＝3。
由对称图形性质，有：PQ⊥l，∴（b－5）/（a－4）＝－1/3，∴3b－15＝4－a，
∴a＝19－3b。

由中点坐标公式，PQ中点的坐标是（（a＋4）/2，（b＋5）/2）。
显然，PQ的中点在直线 l 上，∴（b＋5）/2＝3（a＋4）/2＋3，∴b＋5＝3a＋12＋6，
∴b＝3a＋13。

联立：a＝19－3b、b＝3a＋13，消去b，得：a＝19－3（3a＋13）＝－9a－10，∴a＝－1。
∴b＝－3＋13＝10。
∴点P关于直线 l 的对称点的坐标是（－1，10）。

第二个问题：
联立：y＝3x＋3、y＝x－2，容易得到：x＝－5/2、y＝－9/2。
∴直线y＝x－2与对称轴的交点为（－5/2，－9/2）。

过对称轴上的一点（0，3）作对称轴的垂线，则该垂线的方程为：y－3＝－（1/3）x。
联立：y＝x－2、y－3＝－（1/3）x，容易得到：x＝15/2、y＝11/2。
∴直线y＝x－2与直线y－3＝－（1/3）x的交点为（15/2，11/2）。

令所要求的直线与直线y－3＝－（1/3）x的交点为（c，d）。
则点（0，3）就是点（15/2，11/2）和点（c，d）的中点，由中点坐标公式，有：
（15/2＋c）/2＝0、（11/2＋d）/2＝3，∴c＝－15/2、d＝6－11/2＝1/2。
∴点（－15/2，1/2）在所要求的直线上。

显然，点（15/2，11/2）也在所要求的直线上。
∴所要求的直线的方程为：（y－1/2）/（x＋15/2）＝（11/2－1/2）/（15/2＋15/2），
∴（2y－1）/（2x＋15）＝10/30＝1/3，∴6y－3＝2x＋15，∴2x－6y＋18＝0。
即直线y＝x－2关于 l 对称的直线方程是：2x－6y＋18＝0。

第三个问题：
设直线 l 上的两点（0，3）、（－1，0）关于点（3，2）的对称点分别是（e，f）、（g、h）。
∴（0＋e）/2＝3、（3＋f）/2＝2、（－1＋g）/2＝3、（0＋h）/2＝2，
∴e＝6、f＝1、g＝7、h＝4。
∴所要求的直线过点（6，1）、（7，4）。
∴所要求的直线的方程为：（y－1）/（x－6）＝（4－1）/（7－6）＝3，
∴3y－3＝x－6，∴x－3y－3＝0。
即直线 l 关于点（3，2）对称的直线方程是：x－3y－3＝0。

Answer 2

已知直线l:y=3x+3,试求： 1.点P（4,5）关于l的堆成点坐标；2.直线y=x-2关于l对称的直线方程； 3.直线l关于点A（3,2）对称的直线方程
(1)解析：∵直线l:y=3x+3，P(4,5)
点P到了直线l的距离：d=|3*4-5+3|/√(9+1)= √10
过P点的直线l的法线方程：y=-1/3x+19/3
设点P关于l的对称点坐标(x,y)
|3x-y+3|/√10= √10
y=-1/3x+19/3
二式联立解得x1=-2,y1=7；x2=4,y2=5
∴点P关于l的对称点坐标(-2,7)
(2)解析：∵直线y=x-2==>k=1，直线l:y=3x+3==>kl=3
二式联立解得x=-5/2,y=-9/2
∵kl>k
二直线夹角=arctan[(kl-k)/(1+kl*k)]=arctan1/2
设直线l倾角为θ
∴直线y=x-2关于l对称的直线的倾角为θ+ arctan1/2
∴tan(θ+ arctan2/7)=(3+1/2)/(1-3/2)=-7
∴直线y=x-2关于l对称的直线的方程为：
Y+9/2=-7(x+5/2)==>y=-7x-22
(3)解析：直线l关于点A（3,2）对称的直线方程
即与点A等距，位于点A另一侧的平行线
在直线l上取一点(-1/3,2)，令2=3x+3==>x=-1/3
此点关于A（3，2）的对称点为(3+3+1/3,2)=(19/3,2)
∴直线l关于点A（3,2）对称的直线方程为：
Y-2=3(x-19/3)==>y=3x-17