Question

在平面直角坐标系中，直线Y=-2x-8

如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=-2x-8分别与x轴，y轴相交于A，B两点，点P（0，k）是y轴的负半轴上的一个动点，以P为圆心，3为半径作⊙P．
（1）连接PA，若PA=PB，试判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由；
（2）当k为何值时，⊙P与直线l相切；
（3）当k为何值时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形？

Answer 1

(1)令|k|=a,据题意有(8-a)^2-a^2=a^2,解得a=3,即点P到x轴的距离为3,又⊙P的半径为3,则⊙P与x轴相切.
(2)据题意,过切点的半径所在的直线方程可设为y=(1/2)x+k,可解得x=-(2/5)(k+8),y=(4/5)(k-2),则根据直角坐标系中两点间的距离公式可以求出点P与切点的距离为√{[(2/5)(k+8)]^2+[k-(4/5)(k-2)]^2}=3,解出k=-8+-3√5。(k取2个值，因为点P可以在B点的上方和下方)
(3)设过圆心且垂直于切线的半径所在的直线方程为y=(1/2)x+k,可解得x=-(2/5)(k+8),y=(4/5)(k-2),因为⊙P与直线的两个交点与圆心P作为顶点的三角形是正三角形，则点P到直线l的距离为半径的(√3)/2,则有 √{[(2/5)(k+8)]^2+[k-(4/5)(k-2)]^2}=(3√3)/2，解得k=-8+-(3√15)/2

Answer 2

解：（1）⊙P与x轴相切，
∵直线y=-2x-8与x轴交于A（-4，0），与y轴交于B（0，-8），
∴OA=4，OB=8．
由题意，OP=-k，
∴PB=PA=8+k．
∵在Rt△AOP中，k2+42=（8+k）2
∴k=-3，
∴OP等于⊙P的半径．
∴⊙P与x轴相切．
由y=-2x-8得A（-4，0），B（0，-8），
由勾股定理，得PA=16+k2，
∵PB=k+8，由PA=PB，得 16+k2=k+8，
解得k=-3，
∴⊙P与x轴相切；

（2）过P点作PQ⊥AB，垂足为Q，由PQ×AB=PB×OA，
PQ=(k+8)×442+82，
当⊙P与直线l相切时，PQ=3，即=(k+8)×442+82=3，
解得k=35-8．

（3）设⊙P与直线l交于C，D两点，连接PC，PD，
当圆心P在线段OB上时，作PE⊥CD于E，
∵△PCD为正三角形，
∴DE=12CD=32，PD=3．
∴PE=3
32．
∵∠AOB=∠PEB=90°，∠ABO=∠PBE，
∴△AOB∽△PEB．
∴AOAB=
PEPB，即 44
5=
3
32PB，
∴PB=
3
152．（2分）
∴PO=BO-BP=8-3
152．
∴P（0，3
152-8）．
∴k=3
152-8．（2分）
当圆心P在线段OB延长线上时，
∵PB=
3
152，
∴PO=BO+BP=-3
152-8．
∴P（0，-3
152-8）．
∴k=-3
152-8．（2分）
∴当k=3
152-8或k=-3
152-8时，以⊙P与直线l的两个交点和圆心P为顶点的三角形是正三角形．