Question

指数函数中的问题，其中一个计算步骤不懂

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+b)/(2^(x+1)+a)是奇函数 若对任意的t属于R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)小于0恒成立，求K的取值范围

（Ⅰ）因为 f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即(b-1)/(a+2)=0 ==>b=1 f(x)=(1-2^x)/(a+2^(x+1)) 又由f（1）= -f（-1）知a=2
（Ⅱ）解由（Ⅰ）知f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1) ，易知f(x) 在 正负无穷上为减函数。又因 f(x)是奇函数，从而不等式：f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0 等价于f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)=f(k-2t^2) ，因f(x) 为减函数，由上式推得：t^2-2t>k-2t^2 ．即对一切t∈R 有：3t^2-2t-k>0 ，从而判别式=4+12k<0 ==>k<-1/3

第二步里面的"f(x)=(1-2^x)/(2+2^(x+1))=-1/2+1/(2^x+1)"是怎么来的，老师讲的时候不小心走神了，只听到说要裂项什么的

Answer 1

(1-2^x)/(2+2^(x+1))=(1-2^x)/2(1+2^x)=1/2((2-1-2^x)/(1+2^x)=1/2(2/(1+2^x)-1)=-1/2+1/(1+2^x)

追问

1/2((2-1-2^x)/(1+2^x)=1/2(2/(1+2^x)-1)这步看不懂，能在讲解下吗

追答

就是1/2先不管嘛,然后(2-1-2^x)/(1+2^x)=2/(1+2^x)-(1+2^x)/(1+2^x)=-1+2/(1+2^x)