Question

求和：1+2x+3x^2+…+nx^n-1

Answer 1

x=1时，
Sn=1+2+3+...+n=n(n+1)/2
x≠1时，
Sn=1+2x+3x^2+...+nx^(n-1)
xSn=x+2x^2+...+(n-1)x^(n-1)+nx^n
Sn-xSn=(1-x)Sn=1+x+x^2+...+x^(n-1)-nx^n=(1-x^n)/(1-x)- nx^n
Sn=(1-x^n)/(1-x)^2 -nx^n/(1-x)

Answer 2

除了错位相减，或许可以这样做：
令f(x)=1+2x+3x^2+…+nx^n-1
那么对f(x)积分得到它的原函数:F(x)=x+x^2+x^3+.......+x^n
就是一个等比数列,求出这个和后再对x求导就好啦~~

Answer 3

sn=1+2x+3x^2+…+nx^n-1
x*sn=x+2x^2+3x^3+…+nx^n
两式一减：sn-x*sn=(1-n*x^n)+(x+x^2+x^3+...+x^n-1)=(1-n*x^n)+x(1-x^n-1)/(1-x)
sn=[x^n(n*x-n-1)+1]/(1-x)^2
这叫：错位相减法

Answer 4

1+2x+3x^2+…+nx^n-1
=(x+x^2+…+x^n)'
=[(1-x^(n+1))/(1-x)]'
=n(1-x^n)/(1-x)^2

Answer 5

用错位相减法，就是推导等比数列求和公式的方法