Question

设A是一个正交矩阵，若x是A的一个特征值，则1/x也是A的特征值。（此命题对吗？请解释）

Answer 1

正确.
因为A是正交矩阵, 所以 A^-1 = A^T
由于A与A^T有相同的特征值
所以 λ 也是 A^T 的特征值
所以 λ 是 A^-1 的特征值
所以 1/λ 是 A 的特征值.
--用到多个知识点, 需掌握

Answer 2

|λE-A|=0
A是一个正交矩阵, |A|, |A'|≠0 , 特征值≠0
|(|A'||λE-A|
=|(λA'-A'A)|
=|λA'-E|
=|λA-E|=0 =>
=|1/λE-A|=0，此命题对

Answer 3

|λE-A|=|(λE-A)^T|＝ |λE-A^(-1)|= |A^(-1)(λA-E)|= |A^(-1)||1/λE-A|*λ^n，