Question

如图①所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6．

如图①所示，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5，点M在边AB上，且AM=6． （1）动点D在边AC上运动，且与点A、C均不重合，设CD=x． ①设△ABC与△ADM的面积之比为y，求y与x之间的函数关系式（写出自变量x的取值范围）； ②当x取何值时，△ADM是等腰三角形？写出你的理由． （2）如图②，以图①中的BC、CA为一组邻边的矩形ACBE中，动点D在矩形边上运动一周，能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形共有多少个？（直接写出结果，不要求说明理由）

Answer 1

（1）Rt△ABC中，AC=12，BC=5。则AB=13
从M作MH垂直AC于H，则MH∥BC。
简单有△AMH∽△ABC，MH：BC=AM：AB
MH=30/13
CD为X，则AD为12-X
S△ABC=1/2×AC×BC=30
S△ADM=1/2×AD×MH=15（12-X）/13
Y=30：［15（12-X）/13］=26/（12-X）
（0＜X＜12）
（2）△ADM为等腰三角形有三种情况：
①AD=AM：因为AM=6，所以AD=6，即12-X=6。所以X=6
②DM=AM：显然从M所作垂直AC的线段MH应该也为底边AD上的中线
△AMH∽△ABC，AH：AC=AM：AB
AH=72/13。AD=2AH=144/13。12-X=144/13，X=12/13
③AD=DM：此时D为等腰三角形顶角顶点，所以在AM垂直平分线上
从D作DP⊥AM于P，则AP=PM=AM/2=3
DP⊥AM，∠APD=∠C=90
∠DAP=∠BAC
所以△ADP∽△ABC。AD：AB=AP：AC
AD=13/4。12-X=13/4，X=35/4
（3）有四个，符合要求的D点分别在AC边上1个，BE边上2个，AE边上1个

Answer 2

(1) ①过M作MP垂直于AC交AC与P，则△ABC与△AMP相似，AM/AB=MP/BC,且PM为△AMP的高Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5,则AB=13，AM=6，BC=5，AM/AB=MP/BC，则PM=30/13，AD=12-x，S△ADM=1/2*(12-x)30/13=15/13(12-x),S△ABC=1/2^5^12=30,y=30/(15/13(12-x))=26/(12-x)(0<x<12)
②分情况
（一）AM=DM，则P为AD中点，AP=72/13,AC=144/13,x=12/13
(二)AM=AD=6，x=12-6=6
（三）AP=PM，过P作PQ垂直于AM交AM于Q，△ABC与△AQP相似，AC/AQ=AB/AP,AQ=1/2AM=3,所以AP=13/4,x=35/4
(2)AM=DM,以M为圆心MA为半径作圆M，看于矩形ACBE有几个交点，除去A点，其他都是能使△ADM是以∠AMD为顶角的等腰三角形的点，四个