Question

关于二次函数的求解，谢谢

二次函数Y=1/8X2 的图象如图所示，过y轴上一点M(0,2)的直线与抛物线交于A,B两点，过点A、B分别作y轴的垂线，垂足分别为C,D。
（1）当点A的横坐标为-2时，求点B的坐标；
（2）在（1）的情况下，分别过A、B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上是否存在点P，使∠APB为直角？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求AC•BD的值

Answer 1

解：
(1)有题意可以知道：A(-2,0.5),M(0,2),B(x,(1/8)x^2) 其中x>=0,且三点一线
所以：K(AM)=K(MB)=3/4 即：3/4=[(1/8)x^2-2]/x 解为：x1=8，x2=-2(舍去)
所以：B(8,8)
(2)设P(x,0)且(-2<x<8),因为∠APB为直角，故：AP⊥PB，即：K(AP)K(PB)=-1
即：[0.5/(-2-x)][8/(8-x)]=-1,整理为：x^2-6x-12=0，即：(x-3)^2=21,有实数解
故:p存在。P(21的平方根+3,0），即：p(7.58,0）或者p(-1.58,0)
(3)设动坐标点A(x1,(1/8)x1^2),则C(0,(1/8)x1^2)，B(x2,(1/8)x2^2),D(0,(1/8)x2^2)
得：AC•BD=[(0-x1),0]•[-x2,0]=x1x2
因为：A，M，B共线，所以：K(AM)=K(MB) 即：[(1/8)x1^2-2]/x1=[(1/8)x2^2]/x2
整理得：[(1/8)x1x2+2](x1-x2)=0,又点A与点O不重合所以x1不等于x2
所以：(1/8)x1x2+2=0，即：x1x2=-16
故：AC•BD=[(0-x1),0]•[-x2,0]=x1x2=-16

Answer 2

见图片

Answer 3

(1), Ax = -2, Ay = 1/8 * (-2)^2 = 1/2
AB's slope is 3/2 / 2 = 3/4, y = 3/4 x + 2 intersects y = 1/8 x^2 at B which is B(8,8)
(2) AB^2 = 10^2 + (7 1/2) ^2 = 625/4, AB = 25/2
let P(x,0), PA^2 + PB^2 = (x+2)^2 + 1/4 + (8-x)^2 + 8^2 = 2x^2 - 12x + 132 1/2 = 625/4
solve x = -1.57 which is on EF so P exisit
(3) AB's equation is y = kx + 2
solving kx+2 = 1/8 x^2, we get x = 4k+/- 4sqrt(k^2+1)
AC = |4k- 4sqrt(k^2+1)| = 4sqrt(k^2+1)-4k
BD = 4k +4sqrt(k^2+1)
AC*BD = 1 6

Answer 4

（1）因点A在抛物线上，可得其坐标为(-2,1/2)，
所以直线方程为y=(2-1/2)/(0+2)x+2=3/4x+2
代入抛物线方程，得两交点(-2,1/2)，(8,8)
所以点B的坐标为(8,8)。
（2）易知点E(-2,0)，点F(8,0)
假设点P存在，设其坐标为(t,0)，则-2=<t<=8
则有AP⊥BP，即[-1/2/(t+2)]*[8/(8-t)]=-1，得t=3+根号21或t=3-根号21，均符合要求
所以点P存在，坐标为(3+根号21,0)或(3-根号21,0)
（3）令直线方程为y=kx+2，代入抛物线方程得x^2-8kx-16=0
令方程的两解为x1,x2，可知点A为(x1,y1)，点B为(x2,y2)，点C为(0,y1)，点D为(0,y2)
所以AC=|x1|,BD=|x2|
AC*BD=|x1*x2|=16