Question

一道简单的高数题

抛物线y=ax^2+bx为一条上凸曲线弧，且过点（1，3）当a,b为何值时，抛物线与y=2x所围成的面积最小？

Answer 1

这道题是利用方程确定参数的题，典型的综合性题目。
首先画图，确定抛物线与直线的两个交点。看图利用积分求面积S。
求出的S是个关于a b的方程。根据已知条件过点（1，3)，可以再确定a与b的关系，代入到S的方程，求最值。

解：由过点(1,3)，得a+b=3 (1)
求y=ax^2+bx与y=2x交点 即ax^2+bx=2x，x1=0 x2=(2-b)/a (2)
由(1)和(2)，得x2=(a-1)/a
设抛物线f(x)，直线g(x)，由图可知，所围面积是S，
S=从x1到x2的积分，即0—(a-1)/a，积分号下为[f(x)-g(x)]dx
解出S=一个关于a的函数式，对a求导，S'=0，求出a,和b。

计算过程不好打出来。不知道解答是否满意。