Question

讨论此级数的敛散性

仅需详解p≠q,且p,q都在(0,1)上的情况！

Answer 1

不妨设1>q>p>0。显然当n充分大时有(q--p)ln(2n)>ln2，于是
qln(2n)--pln(2n--1)=(q--p)ln(2n)+p(ln(2n)--ln(2n--1))>(q--p)ln(2n)>ln2，
即(2n)^q>2*(2n--1)^p，或者等价的有
1/(2n--1)^p>2/(2n)^q，故原级数两两组合的通项满足
1/(2n--1)^p--1/(2n)^q>1/(2n)^q，发散，原级数发散。
p>q情况类似。