Question

求极限：当n→∞时，lim（√（n+3*√n）—3次根下（n-√n））

这个题目是不是有错误？如果将3次根号，换成2次根,，我可以解出结果为2。本题给的答案也是2.请各位大神帮忙啊！谢谢！

Answer 1

lim（√（漏兄n+3*√n）—3次根下（n-√n））
=lim【√n （1+3/√n)^(1/2)—(n)^(1/3) *（1-1/√n)^(1/3)】
=lim(x->0+)【1/x* [(1+3x)^(1/樱枯2)] - (1/x)^(2/3)* [(1-x)^(1/3)】 令1/√脊搜洞n=x, 当n→∞时,x->0+
=lim(x->0+)【1/x*[(1+(3/2)x+O(x²)] -(1/x)^(2/3)* [1-(1/3)x+O(x²)】 （泰勒展开）
=lim(x->0+)【 1/x- (1/x)^(2/3) +3/2 + O(x)^(1/3) 】
lim(x->0+)【 1/x- (1/x)^(2/3)】->∞
所以，原式=无穷大

追问

谢谢您的帮助！恩，从给出的答案为2，猜测，题目中（n-√n)^(1/3)应该是（n-√n)^(1/2)，否则，正如您的解答，应该为＋∞.
替换后，解答如下：
lim(n→∞)((n+3*n^(1/2))^(1/2)-(n-n^(1/2))^(1/2))
=lim(n→∞)(4*n^(1/2)/((n+3*n^(1/2))^(1/2)+(n-n^(1/2))^(1/2)))
=4/((1+3/n^(1/2))^(1/2)+(1-1/n^(1/2))^(1/2))
=2
估计这或许是出题者的本意吧。

Answer 2

此题错了，按原题为＋∞

追问

恩，根下应为正无穷大，如果为正无穷大，请问能解答吗？谢谢。

追答

如果仍为3次根号，则结果是＋∞