Question

【50分跪求高手！】高数题证明题-涉及泰勒公式

已知：f"(a) 存在
求证：f"(a) =极限（h ->0）后面这个式子{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2
题目给的提示是：使用泰勒公式 P2，a(x)（2,a是小体的，标注在P的右下角；意思是在a点处的二次泰勒公式）, 提示令 x = a + h 和 x = a -h
好像看不清楚，两个都是f 的两撇

Answer 1

f（a+h)=f(a)+f'(a)h+f''(ξ1)/2!*h²
f（a-h)=f(a)-f'(a)h+f''(ξ2)/2!*h²
相加得
f（a+h)+f(a-h)=2f(a)+f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
所以
f（a+h)+f(a-h)-2f(a)=f''(ξ1)/2!*h²+f''(ξ2)/2!*h²
从而
{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!
h->0有，ξ1->a,ξ2->a
而
f"(a) 存在，所以
极限存在
即
lim(h->0){ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2=lim(h->0)【f''(ξ1)+f''(ξ2)】/2!=【f''(a)+f''(a)】/2!=f''(a)

追问

请问ξ1，ξ2是什么？
为什么不能直接展开的时候写f(a)的两撇
为什么要这一步：h->0有，ξ1->a,ξ2->a

Answer 2

f（a+h)， f（a-h)分别从a点展开到二次带入{ f（a+h)+f(a-h)-2f(a）}/ h^2即可。
f（a+h)， f（a-h)分别从a点展开到二次分别是：
f(a+h) =f(a) + f'(a)h + f"(a)h²/2 + o(h²)
f(a-h) =f(a) - f'(a)h + f"(a)h²/2 + o(h²) 往下你应该会做了吧